Análisis tensorial

Capítulo I: Vectores y Tensores

Octubre de 2005

J.A. Ochoa Tapia

I.

Introducción al análisis tensorial

0. Algunos comentarios sobre el material incluido en este capítulo El material que se presenta en este capítulo es esencial para el estudio de las ecuaciones de transporte de momentum, energía y masa desde un punto de vista formal. De otra manera se tendría, casi forzosamente, querestringir la deducción de las ecuaciones de conservación a sistemas de geometría específica y sería muy difícil generalizar los resultados. El material presentado en este capítulo está limitado a sistemas coordenados cartesianos, pero en conjunto con el que se revisará en el Capítulo II permitirá el desarrollo de las ecuaciones de transporte para cualquier geometría y desde un punto de vistageneral. En este capítulo se introducirán principalmente el uso de la notación indicial para la representación de vectores y tensores de segundo orden. Con este objetivo se revisarán algunas de las operaciones básicas relacionadas a vectores y se definirán los tensores de segundo orden a partir del producto diádico de dos vectores. La transformación de sistemas coordenados debido a rotación de losejes se representará usando operaciones con tensores. Finalmente, se revisará lo referente a los valores principales de un tensor de segundo orden y los ejes principales relacionados. Un alumno que pretenda estudiar los temas presentados en este capítulo debe haber estudiado previamente cálculo de varias variables, cálculo vectorial y álgebra lineal. Todo ello puede ser a un nivel de licenciatura.Después de revisar los temas presentados en el capítulo, el alumno debe ser capaz de resolver los problemas de los grupos 1 y 2. Sobre la nomenclatura La mayor parte de la nomenclatura introducida se explica durante el desarrollo de los temas pero vale la pena insistir en el uso de los siguientes símbolos:

A ob Aob

Indicarán un tensor de segundo orden. Indicarán un vector. Nótese que se usanletras negritas tanto para tensores como para vectores pero el tipo es diferente Arial (tensores) y times (vectores).

A oα

Indicarán tensores si no se cuenta con un tipo de letras negritas adecuado.
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Octubre de 2005

J.A. Ochoa Tapia

aoB
a

Indicarán vectores si no se cuenta con tipo de letras negritas adecuado. Módulo del vector a .{A }
ij

Indicará la matriz formada por los elementos Aij . Indicará la matriz formada por los elementos del tensor A . Indicará el vector unitario en la dirección de la coordenada X i de un sistema coordenado cartesiano.

{A}
ei

ˆ ei

Indicará el vector unitario en la dirección de la coordenada u i de un sistema coordenado curvilíneo.

Subíndices

i, j , k
i , j, k

Indicaráncomponentes en el sistema de coordenadas X . Indicarán componentes en el sistema de coordenadas X .

Sobre las referencias En caso de querer ampliar o refrescar conocimientos sobre álgebra vectorial y operadores diferenciales se recomienda leer el capítulo 8 del libro de Kreyszig [6] y/o el capítulo 7 del libro de Greenberg [4]. Si se desea profundizar sobre el manejo de la notación indicial y detensores se recomienda estudiar los libros de Aris [2] y el de Simmonds [9]. El primero es un libro clásico pero a mi parecer no está al alcance de todos los lectores, por otro lado Simmonds en su libro trató de dar siempre un significado físico y geométrico al material presentado, aún sobre tensores, sin perder rigurosidad. Por ello me parece que antes de estudiar el libro de Aris esrecomendable revisar el de Simmonds.

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Octubre de 2005

J.A. Ochoa Tapia

1. Vectores y notación indicial

Considere un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares donde los tres ejes son ortogonales. En lugar de usar la nomenclatura X , Y y Z para los tres ejes, esto con el propósito de compactar la nomenclatura se designarán como X 1 , X 2 y X 3...