Apilicacion de la derivada

“APLICACIONES DE LA DERIVADA”

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVA ORTODONALES.

5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.

5.3 FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE. MAXIMO Y MINIMOS DE UNA FUNCION. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS. CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXION. CRITERIO DE LA SEGUNDADERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS.

5.4 ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNSIONES

5.5 CALCULO DE APROXIMACIONES UTILIZANDO LA DIFERENCIAL

5.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TAZAS RELACIONADAS

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO
Sea C una curva, y A un punto de esta. Se supone que A es un punto regular de la curva, es decir que no es un punto anguloso: La curva no cambiarepentinamente de dirección en A.
La tangente a C en A es la recta TA que pasa por A y que tiene la misma dirección que C alrededor de A.
La tangente es la posición límite de la recta (AM) (llamada cuerda de la curva), cuando M es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto A (M se desplaza sucesivamente por M1, M2, M3, M4...)
Si C representa una función f (no es el caso en el gráficoprecedente), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)
, donde a es la abscisa de A y x la de M.
Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es Ta: y = f '(a)·(x - a) + f(a)
La recta ortogonal a la tangente TA que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta normal y su pendiente,en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por .
Su ecuación es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a) suponiendo claro está que f'(a) ≠ 0. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de una parábola.
RECTA NORMAL
La pendiente de la recta normal a una curva en unpunto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).CURVAS ORTODONALES

TEOREMA DE ROLLE

El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
* es una función continua definida en un intervalo cerrado
* es derivable sobre el intervalo abierto
*

Entonces: existe un número perteneciente al intervalo tal que

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangentehorizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c
Sea f unafunción sobre un intervalo cerrado [a,b], con derivadas en todo x del intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un punto c en (a,b) tal que:
f´(c) = 0
  Ejemplo: Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1].
Primero sabemos que la función, con dominio todos los números reales, y derivable en todo punto.

la derivada de esta función es: f´(x)=2x loque nos conduce a obtener la posición en la que f´(x)=0.
f´(x)=2x=0 entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho intervalo.
El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle. Como se había mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al...