Aplecaciones de la derivada

CAPÍTULO

8
Aplicaciones de la derivada

1

8.2 Máximos y mínimos locales
Si f .x0 / f .x/ para cada x cerca de x0 , es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0 , diremos que falcanza un máximo local o un máximo relativo en x0 .
y y Máximo local Máximo local
¡

f .x0 /
 

f .x0 /

y D f .x/

y D f .x/

x0

x

x0

x

Si f .x0 / Ä f .x/ para cada x cerca de x0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0 , diremos que f alcanza un mínimo local o un mínimo relativo en x0 .
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2
y y

Cálculo Diferencial eIntegral I

y D f .x/
£ ¢

f .x0 /

y D f .x/ f .x0 / Mínimo local

Mínimo local x x0 x

x0

Si f .x0 / > f .x/ para cada x cerca de x0 , entonces el máximo local es estricto. Si f .x0 /< f .x/ para cada x cerca de x0 , entonces el mínimo local es estricto. A un máximo y a un mínimo local se les llaman valores extremos.
y

Máximo local estricto

x0 x1

y D f .x/ x

Mínimolocal estricto

Si f es continua en un intervalo que contiene a x0 y si f 0 cambia de signo en x0 , es decir, si en un intervalo de la forma .x1 ; x0 / f 0 tiene un signo y en .x0 ; x2 / el otro,entonces en x0 hay un valor extremo, de hecho: Si f 0 pasa de positiva a negativa, hay un máximo local estricto. Es claro pues la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Si f 0 pasa de negativa apositiva, hay un mínimo local estricto. Es claro pues la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Si no cambia de signo la derivada, entonces la función no tiene valor extremo. Ejemplo 8.2.1La función f .x/ D j x j es continua en R , pero no derivable en x D 0. 2

8.2 Máximos y mínimos locales H También f .x/ D j x j D x x

3

si x < 0 ) f 0 .x/ D si x 0

1 1

si x < 0 ) 0 esun mínimo estricto. si x > 0
f 0 .x/

f .x/

f .x/ decreciente

f .x/ creciente
§¨

f 0 .x/ > 0 1

x
¤

x

Mínimo local estricto 1
¥¦

f 0 .x/ < 0

Por otro lado, es claro que...