Aplicacion De La Determinante

Determinantes

DETERMINANTES
Autores: Juan Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu), Cristina Steegmann Pascual
(csteegmann@uoc.edu), Ángel Alejandro Juan Pérez (ajuanp@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

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Definición

Propiedades

Determinantes
Aplicaciones
Cálculo

Por la definición

Por fórmulas

Independencia Lineal
de VectoresCálculo de Áreas y
Volúmenes

Regla de Cramer
Con Mathcad

Cálculo Matriz Inversa

INTRODUCCIÓN

___________________

El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de
matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de
ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Cramer), discutir laexistencia de solución de sistemas
de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teorema de
Rouché Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores (lo cual, entre otras
cosas, nos permitirá identificar posibles bases de un espacio vectorial). Además, la interpretación
geométrica de los determinantes nos permite calcular, de formasencilla, áreas y volúmenes de
determinadas figuras geométricas, realizar productos vectoriales, y hallar las ecuaciones de un plano
en el espacio.
Los campos de aplicación de la teoría de los determinantes y, en general, de la teoría de matrices son
muy amplios, y abarcan desde las más clásicas aplicaciones en las áreas de física, economía, e
ingeniería hasta aplicaciones más recientes como lageneración de gráficos por ordenador, la teoría
de la información [W1], y la criptografía.

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

1

Determinantes

OBJETIVOS
•
•
•
•

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Aprender a calcular determinantes de todos los órdenes.
Conocer las propiedades de los determinantes.
Comprobar cuáles son lasaplicaciones de los determinantes.
Introducirse en el uso del Mathcad para trabajar con determinantes.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

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Es recomendable haber leído, previamente, el math-block sobre álgebra de matrices así como los
introductorios a Mathcad.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

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Definición de determinante
Dados los números1,2,3,....n existen n! formas distintas de ordenarlos. Cada una de dichas
ordenaciones se llama permutación. El conjunto de todas las permutaciones se representa por
Pn y la permutación (1, 2, 3, ..., n) se llama permutación principal.
Por ejemplo, el conjunto {(1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1)} contiene las 6
permutaciones diferentes de la terna (1 2 3).
Diremos que dos elementosde una permutación forman una sucesión si están colocados en el
mismo orden que en la permutación principal. En caso contrario, diremos que forman una
inversión.
Por ejemplo: (2 3 1 4 5 6)
permutación principal).

tiene dos inversiones (nº de pasos a realizar para obtener la

Llamaremos signatura de una permutación al valor (-1)λ donde λ es el número de inversiones de
dicha permutación.Se define el determinante de una matriz cuadrada A, denotado por A o por det(A), como:

Si A =

a11
a 21
a n1

a12
a 22
an 2

a1n
a 21

⇒ A=

∑a

1α1
(α1α 2 α n )∈Pn

⋅ a 2α 2 ⋅

⋅ a nα n ⋅ signatura (α 1α 2

αn )

a nn

[W2]

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2

Determinantes
Cálculo dedeterminantes
Determinantes de orden 2 (asociados a matrices 2x2)
Cuando A es una matriz 2x2 hay 2! = 2 permutaciones del par (1 2); éstas son:
{(1 2), (2 1)}. Entonces, el determinante de A contendrá los dos términos:

a11 ⋅ a22 ⋅ signatura(1 2)

a12 ⋅ a21 ⋅ signatura(2 1)

y

0

1

Como signatura(1 2) = (-1) = 1 y signatura(2 1) = (-1) = -1, el determinante de orden 2 será:

a11
a 21...