Aplicacion de la integral

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y enla matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried  e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integraciónson procesos inversos.




































|Cálculo de áreas |


 

El área de una figura geométrica es todo el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura.

Para calcular el área de algunas figuras seutilizan las fórmulas que aparecen dentro del dibujo de abajo.

En cada caso, debe reemplazarse los valores conocidos en los problemas expuestos y calcular los valores pedidos.

 

|[pic] |


Con ayuda del formulario expuesto, se puede hacer uso de las fórmulas para resolver problemas.

En elmedio circundante hay muchas de estas figuras y es bastante común que se requiera conocer su área, por lo que en la práctica es muy útil saber aplicar estas fórmulas.

Ejemplos:

1.- Una mesa circular tiene un área de 5.027 cm2 ¿cuánto mide su radio?

La fórmula para calcular el área del círculo es  [pic]

Reemplazamos valores y queda  5.027  = 3,1416 •  r2

Resolvemos:

[pic]

Obien 

       r2     =     1.600     (radio al cuadrado vale 1.600)

   [pic]     (Radio solo, vale la raíz cuadrada de 1.600)

        r = 40 cm

 

2.- Un plato tiene un diámetro de 16 cm ¿cuál es su área?

La fórmula es [pic]

Sabemos que el diámetro (d) de la circunferencia es igual a dos radios (2r), por lo tanto el radio (r) será igual al diámetro (16 cm) dividido por 2, o sea,  r =  8.

Reemplazamos los valores, y queda

A  =  3,1416 •  r2

A  =  3,1416  •   82

A  =  3,1416  •   64

A  =  201  cm2

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunquefueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.


Métodos modernos

Al considerar una curva definida por una función [pic] y su respectiva derivada [pic] que son continuas en un intervalo [a, b], la longitudes del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

(1)[pic]

Enel caso de una curva definida par amétricamente mediante dos funciones dependientes de t como [pic] e [pic], la longitud del arco desde el punto [pic] hasta el punto [pic] se calcula mediante:

(2)[pic]

Si la función esta definida por coordenadas polares donde las coordenadas radiales y el ángulo polar están relacionados mediante [pic], la longitud del arco comprendido en el intervalo [pic],toma la forma:

(3)[pic]

En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.

Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola,...