APLICACION DE LAS DERIVADAS

APLICACIÓN DE LA DERIVADA
Introducción:
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. 
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puestoque nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. 
Un aspecto importante en el estudio de la derivada  de una función es que la pendiente oinclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.

1) TASA DE VARIACION:
Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h",siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.
Δy = [f(a+h) − f(a)]

1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  alvalor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] = 
 Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución:
T.V.M. [0, 2] = 
 
2. Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .
 
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

A este valor sele llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
=
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Ejercicio 2. Hallarla derivada de la función f(x) = -x2 +4x   el punto de abscisa x =1.
Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.
Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.
       
 
Luego la función valorabsoluto no es derivable en el 0.
http://www.vitutor.com/fun/4/a_1.html
http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm
2) VELOCIDAD Y ACELERACION INSTANTANEA:












VARIABLES LIGADAS: esto fue lo mejor que encontre :


































http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CAPITULO_III_DERIVADA_III.pdf
4) TEOREMA DE ROLLY Y DE VALOR MEDIO:

TEOREMAS DELVALOR MEDIO. REGLA DE L’HOPITAL.
Tres propiedades fundamentales de las funciones derivables corresponden a los siguientes teoremas del valor medio:
a) Teorema de Rolle.
Si una función y = f(x) verifica las siguientes hipótesis:

a) f es continua en un intervalo cerrado [a, b];
b) f es derivable en el intervalo abierto (a, b);
c) f(a) = f(b);

Entonces se puede asegurar la existencia de...