Aplicacion de matrices

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APLICACIONES DE LAS MATRICES El presente estudio se originó como respuesta a la ayuda que me pidió mi nieto mayor, de 17 años, mientras hacía su curso en un colegio de Brisbane, Australia, a la fecha de febrero de 2006. La verdad es que no sé cual sea la relación entre los currículos de aquí y de allí, pero todo apunta a que al muchacho le cogió desprevenido la tarea sobre la aplicación dematrices que le exigieron. Por otra parte parece razonable que cada vez se introduzca antes a los estudiantes en estas cuestiones, ya que, aunque las matrices vienen de muy antiguo y tuvieron su esplendor en el siglo XIX, especialmente de la mano de los grandes matemáticos franceses, hoy en día su técnica es de especial aplicación a la informática y a la animación dentro de los medios audiovisuales.Primero, algunas ideas básicas: • Matriz es un cuadro de números o símbolos algebráicos ordenados en filas y columnas de manera que se corresponden entre sí. • Se suele encerrar entre paréntesis o corchetes, nunca entre dos barras verticales. Esto último se reserva para los determinantes. Las matrices son una pura representación: no tienen valor; los determinantes, sí. • La Matriz “m " n” tiene mFilas y n Columnas. • aij es el elemento de una matriz situado en la fila i (una de las m que hay) y en la columna j (una de las n). " x% • La ! matriz vertical de dos filas y una columna $ ' representa al punto de # y& coordenadas (x,y) en el plano. • Producto de matrices. Sean las dos matrices A = (aij) m " n B = (bij) p " q !
! !

donde n = p, es decir, el número de columnas de la primeramatriz A es igual al número de filas de la segunda matriz B. Esta exigencia obliga a un determinado orden de los factores: el producto de matrices no goza de la propiedad conmutativa. El producto A * B se define así: El elemento que ocupará el lugar ij en la matriz producto es la suma de los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matrizB. Como signo de multiplicación empleo indistintamente " ó *. Veamos un ejemplo en el que el punto (1,1) se transforma en el (3,2) mediante la aplicación de la "2 1% matriz transformadora [T]= $ ' multiplicada por la correspondiente al punto (1,1): #1 1& ! [T] * [B] = B´

"2 1% "1% "2 (1+ 1(1% "2 + 1% "3% $ ' * $ '=$ '=$ '=$ ' #1 1& #1& #1(1+ 1(1& #1+ 1& #2& Por lo dicho antes, la abscisa se ponearriba y la ordenada abajo. Esta operación producto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones A propósito del producto de dos matrices cuadradas, se muestra a ! ! continuación un ejemplo de ejecución y el esquema de generación de los elementos de la matriz producto. Se muestra el producto de una matriz por su inversa. Las matrices del ejemplo son 3 x 3 aunque las que venimos manejando sondistintas. !
# 2 13 "3& # 2 "2 1& #1 0 0& 1% ( % ( % ( " % 4 11 "3( ) %"1 1 1( = %0 1 0( 6 %"2 "4 0 ( %"1 3 5( %0 0 1( $ ' $ ' $ '
El producto obtenido es la matriz unidad ya que su determinante vale 1.

!

• Y ya que hablamos de matriz inversa será bueno detenernos en ella. Por [T-1] se designa a la matriz inversa de [T], y se obtiene así:

T-1 =

Traspuesta 1 [ Adj [T ]] T

Veamosqué quiere decir todo esto. T es el determinante de la matriz T y vale 2*1-1*1 = 1 (los productos en ! cruz, restados). Adj[T] es la matriz adjunta de la matriz T. Se obtiene sustituyendo cada uno de sus elementos, por su adjunto. Adjunto de un elemento es su menor ! complementario, con el signo que le corresponde (alternados + y -). Como aquí sólo manejamos matrices y determinantes 2*2, la cosaresulta sencilla (los elementos se corresponden en diagonal). "2 1% Para la matriz $ ': #1 1& 1ª fila: el adjunto de 2 es 1; el adjunto de 1 es -1. 2ª fila: el adjunto de 1 es -1; el adjunto de 1 es 2. # 1 "1& Así pues, ! Adj[T] será: % ( $"1 2 ' Ya sólo falta hallar la traspuesta de esta última matriz, cosa que consiste en cambiar las filas por columnas; ello nos conduce a una matriz igual a la...
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