Aplicacion de matrices
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donde n = p, es decir, el número de columnas de la primeramatriz A es igual al número de filas de la segunda matriz B. Esta exigencia obliga a un determinado orden de los factores: el producto de matrices no goza de la propiedad conmutativa. El producto A * B se define así: El elemento que ocupará el lugar ij en la matriz producto es la suma de los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matrizB. Como signo de multiplicación empleo indistintamente " ó *. Veamos un ejemplo en el que el punto (1,1) se transforma en el (3,2) mediante la aplicación de la "2 1% matriz transformadora [T]= $ ' multiplicada por la correspondiente al punto (1,1): #1 1& ! [T] * [B] = B´
"2 1% "1% "2 (1+ 1(1% "2 + 1% "3% $ ' * $ '=$ '=$ '=$ ' #1 1& #1& #1(1+ 1(1& #1+ 1& #2& Por lo dicho antes, la abscisa se ponearriba y la ordenada abajo. Esta operación producto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones A propósito del producto de dos matrices cuadradas, se muestra a ! ! continuación un ejemplo de ejecución y el esquema de generación de los elementos de la matriz producto. Se muestra el producto de una matriz por su inversa. Las matrices del ejemplo son 3 x 3 aunque las que venimos manejando sondistintas. !
# 2 13 "3& # 2 "2 1& #1 0 0& 1% ( % ( % ( " % 4 11 "3( ) %"1 1 1( = %0 1 0( 6 %"2 "4 0 ( %"1 3 5( %0 0 1( $ ' $ ' $ '
El producto obtenido es la matriz unidad ya que su determinante vale 1.
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• Y ya que hablamos de matriz inversa será bueno detenernos en ella. Por [T-1] se designa a la matriz inversa de [T], y se obtiene así:
T-1 =
Traspuesta 1 [ Adj [T ]] T
Veamosqué quiere decir todo esto. T es el determinante de la matriz T y vale 2*1-1*1 = 1 (los productos en ! cruz, restados). Adj[T] es la matriz adjunta de la matriz T. Se obtiene sustituyendo cada uno de sus elementos, por su adjunto. Adjunto de un elemento es su menor ! complementario, con el signo que le corresponde (alternados + y -). Como aquí sólo manejamos matrices y determinantes 2*2, la cosaresulta sencilla (los elementos se corresponden en diagonal). "2 1% Para la matriz $ ': #1 1& 1ª fila: el adjunto de 2 es 1; el adjunto de 1 es -1. 2ª fila: el adjunto de 1 es -1; el adjunto de 1 es 2. # 1 "1& Así pues, ! Adj[T] será: % ( $"1 2 ' Ya sólo falta hallar la traspuesta de esta última matriz, cosa que consiste en cambiar las filas por columnas; ello nos conduce a una matriz igual a la...
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