Aplicacion de un modelo de optimizacion al diseño de una viga elastica

Mec´nica Computacional Vol. XXIII a G.Buscaglia, E.Dari, O.Zamonsky (Eds.) Bariloche, Argentina, November 2004

´ ´ APLICACION DE UN MODELO DE OPTIMIZACION ´ ˜ AL DISENO DE UNA VIGA ELASTICA
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Mar´a C. Maciel , Elvio A. Pilotta and Graciela N. Sottosanto ı
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Depto. de Matem´ tica, Universidad Nacional de Sur a Av. Alem 1253, 8000 Bah´a Blanca, Argentina ı e-mail:immaciel@criba.edu.ar

CIEM (CONICET)-FaMAF, Universidad Nacional de C´ rdoba o Medina Allende s/n, 5000 C´ rdoba, Argentina o e-mail: pilotta@mate.uncor.edu Depto. de Matem´ tica, Universidad Nacional del Comahue a Santa Fe 1400, 8300 Neuqu´ n, Argentina e e-mail: gsottos@uncoma.edu.ar

Key Words: programaci´ n no lineal, optimizaci´ n estructural, m´ todo de elementos finitos. o o e Abstract. Se considera elproblema de determinar la altura de la secci´ n de una viga el´ stica o a sujeta a una carga vertical de modo que la rigidez de la viga sea m´ xima. El planteo de este a problema se basa en la presentaci´ n de Haslinger y M¨ kinen,1 aunque el modelo y la resoluci´ n o a o del problema de optimizaci´ n resultante siguen lineamientos diferentes. Se usa el m´ todo de o e elementos finitos para obteneruna discretizaci´ n adecuada del problema con valores en la o frontera y para formular, posteriormente, el problema de optimizaci´ n. Este ultimo se resuelve o ´ combinando el m´ todo de puntos interiores con estrategias de regi´ n de confianza. Resultados e o num´ ricos preliminares son presentados. e

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M. Maciel, E. Pilotta, G. Sottosanto

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´ INTRODUCCION

El objetivo deeste trabajo consiste en ilustrar el uso de modelos de optimizaci´ n para resolver o ´ problemas de dise˜ o optimo, en particular, de dimensiones optimas (sizing optimization). n ´ En esta primera etapa, estamos interesados en resolver el primer problema, es decir, consideramos el caso de dise˜ o optimo de una viga, sometida a esfuerzos de flexi´ n, que responde a n ´ o la teor´a de Euler-Bernoulli.En esta teor´a se asume que las secciones planas perpendiculares ı ı al eje de la viga, permanecen planas despu´ s de la flexi´ n y que la deformaci´ n transversal e o o est´ gobernada por la ecuaci´ n diferencial de cuarto orden a o
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donde y sonfunciones dadas de y es la variable dependiente. La funci´ n , es el producto del m´ dulo de elasticidad del material por el moo o mento de inercia de la secci´ n transversal de la viga, es la carga distribuida transveral y o es la deformaci´ n medida transversalmente al eje de la viga. Adem´ s de satisfacer la ecuaci´ n o a o diferencial, tambi´ n debe cumplir apropiadas condiciones de frontera quedepender´ n de la e a forma de sustentaci´ n de la viga. o En nuestro problema de dise˜ o optimo la variable es el espesor de la viga (altura de la n ´ o secci´ n transversal) que llamaremos y el objetivo es encontrar una distribuci´ n de espesores o que maximice la rigidez de la viga. Bajo estas condiciones, la deformaci´ n transversal es una o funci´ n del espesor, es decir, o . En nuestrosexperimentos num´ ricos consideraremos una viga de espesor variable repree y sometida a diferentes estados de sustentaci´ n y carga. o sentada en el intervalo Si bien el planteo del problema y parte de su an´ lisis est´ basado en la presentaci´ n de a a o 1 Haslinger y Makinen, el modelo de optimizaci´ n que se obtiene y la forma de resoluci´ n o o siguen lineamientos diferentes. La estrategia consiste, b´sicamente, en usar la t´ cnica de elementos finitos para obtener una a e discretizaci´ n adecuada del problema con valores en la frontera y formular un problema de o optimizaci´ n no lineal sujeto a restricciones de igualdad, desigualdad y cotas sobre las variao bles. Para la resoluci´ n num´ rica se us´ el algoritmo KNITRO desarrollado por J. Nocedal o e o y R. A. Waltz2 el cual consiste en una...