Aplicaciones De Las Derivadas E Integrales

Matemática II - Curso on line 2009.

Unidad 4 – Aplicaciones de las derivadas e integrales. (Resolución)
1) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación
f ( x) = 2. x −

6
x

en el punto de abscisa x 0 = 1.

Resolución: Siendo x 0 = 1 ⇒
Como: f ( x ) = 2 . x −

6

⇒

x

y 0 = f (1) = 2.1 − 6 = −4 .
1
1

f ( x ) = 2.x 2 − 6.x

1
1
f´( x )= 2. 2 . x − 2 − 6.(− 2 ). x − 2 = x − 2 + 3. x −
1

3

1

3

− 12

⇒

2

f´(1) = 1 + 3 = 4

Así resultan:
Recta tangente: y + 4 = 4(x − 1) ⇒

y = 4x − 8

1
Recta normal: y + 4 = − 4 (x − 1) ⇒

1
y = − 4 x − 15
4

2) Hallar, si existen, las coordenadas “x” e “y” de los puntos sobre la curva definida
por la fórmula f ( x ) =

5x − 1
donde la recta tangente, esparalela a la recta “r”
2−x

cuya ecuación es r : 2x − 2y = 1

Resolución: Como el problema nos pide que la recta tangente sea paralela a
una recta dada, se debe cumplir que la función derivada se iguale a la pendiente
de la misma. Siendo 2x − 2y = 1 ⇒

− 2y = −2x + 1 ⇒

1
y = x − 2 . Pediremos

entonces como condición que: f('x ) = 1.
Luego: f´( x ) =

5 (2 − x ) − (5 x − 1) (− 1)
2(2 − x )

Igualando

9
2

(2 − x )

=1 ⇒

a

=

10 − 5 x + 5 x − 1
2

(2 − x )
“1”

(2 − x )2 = 9

⇒

2−x = 3

=

9

(2 − x )2
tenemos

⇒

que:

−=
{2 − x = 33⇒⇒x x==−1
2x−
5

Sabidos los valores de abscisa podemos calcular las ordenadas:
Siendo: x = −1 ⇒ y = f( −1) =

5.( −1)−1
2−( −1)

= −2 . De donde uno de los puntos en cuestión

es el P0= (− 1; − 2) . En forma idéntica, siendo x = 5 ⇒ y = f( 5 ) =
punto es el P1 = (5 ; − 8 )

25 −1
2 −5

= −8 y el otro

3) Analizar si la función definida por la fórmula f ( x ) =

x2
posee máximos o
1− x

mínimos. En caso afirmativo hallar las coordenadas de los mismos.

Resolución: Como debemos encontrar los valores máximos y/o mínimo, si
existen la condición es que la funciónderivada se anule en algún punto de su
dominio.
Calculándola
f´( x ) =

tenemos

2x.(1 − x ) − x 2 .( −1)
(1 − x ) 2

Como f´( x ) = 0

⇒

Así resultan: x = 0

⇒

f´( x ) =

2x − x 2
=0
(1 − x ) 2
∨

que:

2 x − 2x 2 + x 2 2 x − x 2
=
(1 − x ) 2
(1 − x ) 2

⇒

2x − x 2 = 0

⇒

x. (2 − x ) = 0

x = 2.

Para analizar si se trata de un máximo o mínimo, loharemos (no es obligatorio
hacerlo así) con el criterio de la primera derivada, considerando que el dominio
de la función es ℜ − {1}

x
f ’(x)

( − ∞ ;0)

0

(0 ;1)

(-)

Mín.

(+)

1
A
V

( 1; 2 )

2

(2 ; +∞ )

(+)

Máx.

(-)

De aquí concluimos en que la función presenta un punto mínimo en P0 = (0 ; 0 ) y
también un máximo en P1 = (2 ; − 4 )

de 350 m2 desuperficie. Tres de las paredes deben ser de ladrillos y el portón que
da al lado “Este” debe ser enrejado.

Área del predio
2
350 m

Si los costos del metro lineal de la pared de

Enrejado: 300$/m

4) Se desea construir, un predio rectangular

ladrillo y del enrejado son de 50$/m y
300$/m respectivamente.

Ladrillos: 50$/m

¿Con qué dimensiones se los debe diseñar, a los efectos delograr un mínimo
costo? ¿Cuál será el valor del mismo?

Resolución: Llamemos “x” al largo del terreno e “y” a su ancho. Acorde con los
datos aportados por la figura la misma debe ser:

⇒

A = x . y = 350 m 2

y=

350 m 2
x

El costo viene dado por la suma entre los costos de colocar los ladrillos y el
enrejado. Así tenemos que la función de costos (obviando unidades) viene dadapor:
C total = (2x + y ).50 + (y ).300
Distribuyendo y agrupando resulta:
C total = 100 x + 50 y + 300 y = 100 x + 350 y
Expresando todo en función de una sola variable tenemos:
C total = 100 x + 350. 350 = 100 x + 122500
x
x
De esta última expresión debemos calcular su derivada e igualarla a cero para
así hallar sus valores máximos o mínimos.
Así:
C 'total = 100 − 122500
x2
Luego: x...