APLICACIONES LINEALES

Fundamentos de Matemática Aplicada II (A.T.) Curso 2013-2014
APLICACIONES LINEALES
1.(S1T)Dados los espacios vectoriales U y V, estudie si las siguientes aplicaciones
f  U  V son lineales:

a) U  V  3 ( ) / f (x  y  z )  (x  y  y  z  z  x ) .
b) U  3 ( );V  2 () / f (x  y  z )  (x 2  y 2  x 2  y 2 ) .
c) U  V  Mn ( ) / f (A )  (At  A)t .

2.(S1T).Determine los subespacios Im(f) y N(f) de las siguientes aplicaciones
lineales:
a) f  3 ( )  3 ( ) / f (x  y  z )  (2 y  x  y  x  2 y  z ) .
b) f  P1 ()  P1 ( ) / f ( p (x ))  p (x )  p (x ) .

3.(S1T) Clasifique las siguientes aplicaciones lineales:
a) f : Mn ( )  Mn () / f (A )  At .
b) f  3 ( )  2 ( ) / f (x , y , z )  (3 x  2 y , 3 y  2 z ) .
c) f  2 () 3 () / f (x , y )  (x , x  y , x  y  z ) .

4.(S1P) Determine la aplicación lineal f  3 ( )  P2 () tal que :
f (1  0  0 )  1  x 2
f (0  1  1 )  x  x 2
f (1  1  0 )  1  x  x 2

Y calcule f (1  1  2 ) .

5.(S1P). Sea f el endomorfismo de 3 ( ) / f (x1  x2  x3 )  (y1  y2  y3 ) de forma que:
y1  x 1  x 2  x 3
y2  x1  x2  x3
y3  x1  x3
queson las ecuaciones del mismo.
Si U1  (x1  x2  x3 ) / x1  2 x3  0y U2  (x1  x2  x3 ) / 2 x2  x3  0
Calcule:


a) El conjunto de antiimágenes del 0 .
b) La imagen recíproca del vector (7,5,6) sin resolver ningún sistema de
ecuaciones, sabiendo que f (2,-1,4) = (7,5,6).
c) f(U1 + U2 ) y f(U1  U2 ).

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6.(S2T)Dada la aplicación
z
f  3 ( )  M2 ( ) / f (x  y  z )  
y

y
x z 


Estudie si f es lineal y, en este caso, halle la matriz asociada a dicha aplicación
lineal en las bases canónicas.

7.(S2T) Sean B  (2 , 1 ),(1 , 4 ) y B   (2 , 1 , 1 ),(1 , 2 , 0 ),(1 , 0 , 2 ) bases de 2 ( )
y 3 ( ) respectivamente.
Consideremos el homomorfismo
f  2 ()  3 ( ) / f (x, y )  (x  y , y , y  x )
Halle la expresión matricial de f en las bases B y B  .

8.(S2P) Determine la representación matricial de la aplicación lineal g  f ,
sabiendo que:
f  3 ( )  2 ( ) / f (x , y , z )  (x  2 y , x  y  z )
g  2 ()   4 ( ) / g (x , y )  (y , x  y , 2 x ,3 x  y )

Calcule además los siguientes subespacios:
N( g  f ) ; Im(f) ; N(g) ; N(g) Im(f) ; f 1 (N(g)  Im(f)).
¿Cuáles de estos subespacios vectoriales coinciden? ¿Coinciden en este caso
concreto o coincidirán en cualquier caso?

9.(S2P) Dado el homomorfismo f  2 ()  3 ( ) f (x , y )  (y , 2 x , y ) calcule la
expresión matricial de f respecto a las bases B  (2 , 2 ),( 4 , 1 )

de 2 ( )

y B   (2 , 1 , 1 ), (1 , 2 ,0 ),(1 , 0 , 2 ) de 3 ( ) . Halletambién la matriz de f respecto a

las bases canónicas C 2 y C 3 .

10.(S3T) La matriz de un endomorfismo f de 3 ( ) , dada respecto a la base
canónica es
1
 2 3


2
4
 1
 3
1 2 


Halle una base del núcleo y de la imagen de f. Si U1  (x1  x2  x3 ) / x1  x2  y
U2  (x1  x2  x3 ) / x1  x2  x3  0
son subespacios vectoriales de 3 ( ) , halla unabase de la imagen de U1  U2 .

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11.(S3T) Sea f  2 ()  3 ( ) una aplicación lineal y B2  (2 , 2 ),(1 , 1 ) ,
B3  (1 , 2 ,3 ),(2 , 3 , 1 ),(2 , 1 , 3 ) las respectivas bases, siendo:

fB 2 B 3

 3

  1
 2


4

2
3


Calcule la nueva matriz de la aplicación respecto a las bases B2  (1 , 2),(4 , 2 ) ,
B3  ( 1 , 1 , 1 ),(1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) . Halle también la representación matricial de f

respecto a las bases canónicas.

11.(S3P) Sea

f:  2 ( )  3 () una aplicación lineal y B, B’ las respectivas

bases del ejercicio anterior, siendo la matriz asociada a f en estas bases:

 0 1


fBB’ = 1
1

 2 3


Calcule la nueva matriz de la...