Aplicaciones lineales

TEMA 4. APLICACIONES LINEALES 1.2.3.4.Definici´n y propiedades. o Aplicaciones lineales inyectivas y Suprayectivas. N´cleo, imagen, matriz asociada y rango de una aplicaci´n lineal. u o Operaciones con aplicaciones lineales y matrices.

1.- Definici´n y propiedades. o • Aplicaci´n lineal. o – Definici´n. f : A → B es una aplicaci´n ⇐⇒ ∀ a ∈ A o o f (a) = b. ∃! b ∈ B tal que

– Definici´n.Llamamos aplicaci´n lineal u homomorfismo del K espacio vectorial o o (U, +, ·) en el K espacio vectorial (V, ⊕, ) a toda aplicaci´n f : U → V tal que o ∗ f (u1 + u2 ) = f (u1 ) ⊕ f (u2 ) ∀ u1 , u2 ∈ U ∗ f (λ · u) = λ f (u) ∀ u ∈ U y ∀ λ ∈ K

– Definici´n. f : U → V es una aplicaci´n lineal del K espacio vectorial (U, +, ·) en o o el K espacio vectorial (V, ⊕, ) ⇐⇒ f (λ · u1 + β · u2 ) = λ f (u1 ) ⊕ β f(u2 ) ∀ u1 , u2 ∈ U y ∀ λ, β ∈ K.

• Propiedades de las aplicaciones lineales. Sean (U, +, ·) y (V, +, ·) K espacios vectoriales y f : U → V una aplicaci´n lineal o – f (0U ) = 0V

n

n

– f(
i=1

λi · ui ) =
i=1

λi · f (ui ), ∀ λi ∈ K y ∀ ui ∈ U
1

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– Proposici´n 5.1 o

Si W es un subespacio vectorial de U entonces T (W ) es un

subespacio vectorial de V .

–Proposici´n 5.2 Sea H un subespacio de V entonces f −1 (H) = {u ∈ U/f (u) ∈ o H} es subespacio vectorial de U

– proposici´n 5.3 Si {u1 , · · · , un } es un conjunto linealmente dependiente en U o entonces {f (u1 ), · · · , f (un )} es un conjunto linealmente dependiente en V .

∗ Observar que si {f (u1 ), · · · , f (un )} es un conjunto linealmente independiente en V entonces {u1 , · · · , un } eslinealmente independiente en U .

– proposici´n 5.4 Si {u1 , · · · , un } es un sistema de generadores de U entonces o {f (u1 ), · · · , f (un )} es un sistema de generadores de f (U ).

2. Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos. – Repaso

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∗ f : A → B es una aplicaci´n inyectiva ⇐⇒ f (a) = f (b) implica que a = b. o

∗ f : A → B es una aplicaci´n sobreyectiva ⇐⇒ ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A talque o f (a) = b. Es decir f es sobre si f (A) = {b ∈ B / ∃a ∈ A con f (a) = b}

∗ f : A → B es una aplicaci´n biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva. o – Definici´n. Llamamos n´cleo de una aplicaci´n lineal f : U → V al conjunto de o u o todos los vectores de U que tienen por imagen al cero de V . Ker(f ) = {u ∈ U/ f (u) = 0 }.

– Definici´n. Llamamos imagen de una aplicaci´n lineal f : U → V alconjunto de o o todos los vectores de V que son imagen de alg´n elemento de U . u Im(f ) = {v ∈ V / ∃u ∈ U con f (u) = v}.

– Proposici´n 5.5 El N´cleo y la Imagen de una aplicaci´n lineal son subespacios o u o

vectoriales de los espacios vectoriales correspondientes.

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– Tipos de aplicaciones. A toda aplicaci´n lineal inyectiva la llamamos monomoro fismo , epimorfismo si essobreyectiva e isomorfismo si es biyectiva. Si U = V entonces decimos que la aplicaci´n lineal f es un endomorfismo y si adem´s es o a biyectiva que es un automorfismo. – Proposici´n 5.6 Una aplicaci´n lineal f : U → V es inyectiva o monomorfismo o o si y s´lo si transforma sistemas linealmente independientes en sistemas linealmente o independientes.

∗ Sean V y U espacios vectoriales tales que: dim U = n ydim V = m y f : U → V una aplicaci´n lineal.Sea n > m ¿Puede ser f inyectiva? o

– Proposici´n 5.7 Sean V y U espacios vectoriales sobre un cuerpo K y f : U → V o una aplicaci´n lineal. f sobreyectiva ⇐⇒ Imf = V o ∗ Sean V y U espacios vectoriales tales que: dim U = n y dim V = m y f : U → V una aplicaci´n lineal.Sea n < m ¿Puede ser f un epimorfismo? o

– Proposici´n 5.8 Una aplicaci´n lineal f: U → V es un isomorfismo si y s´lo si o o o transforma una bases de U en bases de V .

∗ Sean V y U espacios vectoriales si y f : U → V es un isomorfismo ¿qu´ e relaci´n existe entre las dimensiones de U y V . o

– Proposici´n 5.9 o

Sean U y V espacios vectoriales sobre un cuerpo K Sea B =

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{u1 , · · · , un } base de U . Supongamos que {v1 , · · · , vn } ⊂ V entonces existe una...