Aplicaciones lineales

Aplicaciones Lineales
Primeras definiciones. Una aplicaci´n lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una o aplicaci´n f : E → F tal que o f (u + v) = f (u) + f (v) para todos u, v ∈ E. f (λ · u) = λ · f (u) para todo u ∈ E y para todo λ ∈ K. Notaremos por L(E, F ) al conjunto de todas las aplicaciones lineales de E a F . Problema relacionado. 1. Las siguientes propiedades sededucen a partir de la definici´n. Si f : E → F es una aplicaci´n o o lineal, entonces: n n f ( j=1 λj · uj ) = j=1 λj · f (uj ), para todos u1 , . . . , un ∈ E y para todos λ1 , . . . , λn ∈ K. f (0E ) = 0F . Si G es un sev del ev de llegada F , f −1 (G) = {u ∈ E : f (u) ∈ G} es un sev del ev de salida E. Si H es un sev del ev de salida E, f (H) = {f (u) : u ∈ H} es un sev del ev de llegada F .Ejercicio. Probar las propiedades anteriores. Los casos G = {0} y H = E dan lugar a dos importantes definiciones. El n´cleo de f es el sev del ev de salida definido por u Nuc f = f −1 (0) = {u ∈ E : f (u) = 0}. La imagen de f es el sev del ev de llegada definido por Im f = f (E) = {f (u) : u ∈ E} = [f (u1 ), . . . , f (un )] donde (u1 , . . . , un ) puede ser cualquier base del ev de llegada. Recordamos queuna aplicaci´n f : A → B entre conjuntos es: o inyectiva cuando no hay dos elementos diferentes del conjunto de salida que tengan la misma imagen. Es decir, cuando f (u) = f (v) ⇐⇒ u = v. exhaustiva cuando cualquier elemento del conjunto de llegada es la imagen de alg´n elemento u del conjunto de salida. Es decir, cuando ∀w ∈ B ∃u ∈ A t.q. f (u) = w. biyectiva cuando es inyectiva y exhaustiva. Lasaplicaciones biyectivas se pueden invertir. Dada una aplicaci´n biyectiva f : A → B, existe otra o aplicaci´n f −1 : B → A tal que f (u) = v ⇔ f −1 (v) = u. o Estos conceptos se pueden trasladar al marco de las aplicaciones lineales, dando lugar a las siguientes caracterizaciones. Supongamos que E y F son ev de dimensi´n finita. Sea f : E → F una aplicaci´n o o lineal y sea (u1 , . . . , un ) unabase del ev de salida E. Entonces: f es inyectiva ⇐⇒ Nuc f = {0} ⇐⇒ f (u1 ), . . . , f (un ) son li en F . f es exhaustiva ⇐⇒ Im f = F ⇐⇒ f (u1 ), . . . , f (un ) generan F . f es biyectiva ⇐⇒ f (u1 ), . . . , f (un ) son una base de F . Las caracterizaciones referentes al n´cleo y a la imagen no requieren la hip´tesis de dimensi´n finita. u o o Ejercicio. Probar estas caracterizaciones. Problemarelacionado. 2. Finalmente, listamos un vocabulario que no vamos a usar, pero que conviene saber. Sea f : E → F una aplicaci´n lineal. Diremos que: o f es un monomorfismo si y s´lo si f es inyectiva. o f es un epimorfismo si y s´lo si f es exhaustiva. o f es un isomorfismo si y s´lo si f es biyectiva. o
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Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼rafael/al/aplicaciones.pdf

f es un endomorfismosi y s´lo si E = F . o f es un automorfismo si y s´lo si E = F y f es biyectiva. o Notaremos por L(E) o por End(E) al conjunto de todos los endomorfismos de E. Ejemplos de aplicaciones lineales. Vamos a empezar con los ejemplos m´s sencillos posibles: a La aplicaci´n nula de un ev E a otro ev F es aquella que envia todos los vectores de E al o vector nulo de F . Es decir, f (u) = 0, para todo u ∈E. Escribiremos f = 0 = 0E,F . Adem´s, a Nuc f = E Im f = {0}.

La aplicaci´n identidad de un ev E es el endomorfismo que envia cualquier vector al propio o vector. Es decir, f (u) = u, para todo u ∈ E. Escribiremos f = Id = IdE . Adem´s, a Nuc f = {0} Im f = E.

A continuaci´n, presentamos un ejemplo geom´trico en el plano y otro en el espacio. o e En el plano E = R2 , consideramos el giro de´ngulo θ. Veremos m´s adelante que, en coordea a nadas naturales, este giro se expresa como gθ : R2 → R2 gθ : x y → cos θ sin θ − sin θ cos θ x y .

El giro de ´ngulo θ es una aplicaci´n biyectiva cuya inversa es el giro de ´ngulo −θ. En a o a particular, Nuc gθ = {0} e Im gθ = R2 . En el espacio E = R3 , consideramos la proyecci´n sobre el plano G = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} o en la direcci´n...