Aplicaciones Trayectoria

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS:
Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una
trayectoria ω para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T
corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bajo unángulo
constante ω.
OBSERVACIÓN:
Recuerde que el ángulo entre dos curvas queda determinado por el ángulo que
forman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de intersección.

Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea ω un ángulo dado. Se desea
determinar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ángulo constante ω con cada
una de las curvas de la familiaF(x, y, C) = 0.
Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se puede determinar la ecuación diferencial
asociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminación de constantes arbitrarias de un
haz de curvas. Sea f(x, y, y’)= 0 dicha ecuación diferencial.
Considérese una curva F1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T1 ,
a un ángulo ω, tal que se cortan en un punto P(x, y) (verFigura 1)

F1 ( x, y, C1) = 0

Y

L F1
ω
P(x,y)

T1 ( x, y, K1) = 0

X
Figura 1

L T1

Sea θ el ángulo que forma la recta tangente a la curva F1(x, y, C1) = 0, en el punto P(x,
y), con el eje x; sea φ el ángulo que forma la recta tangente a la curva T1(x, y, K1) = 0, en el
punto P(x, y), con el eje x. Sea ω el ángulo entre ambas rectas (ver Figura 2).

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F1 ( x, y, C1) = 0

Y

L F1
ω
P(x,y)
θ

T1 (x, y, K1) = 0

φ
X
L T1

Figura 2

A cada punto de la curva F1(x, y, C1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde
y’ = tg θ es la pendiente de la recta tangente a la curva F1 en el punto P(x, y).
A cada punto de la curva T1(x, y, k1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde
y’= tg φ es la pendiente de la recta tangente a la curva T1 en el punto P(x, y).
OBSERVACIÓN:
A fin deevitar confusión con respecto a si la terna (x, y, y’), está referida a los
puntos de la curva F1, o a los puntos de la curva T1, sólo a efectos de la demostración
se escribirá (u, v, v’ ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva
T1. En el punto P(x, y) exactamente se tendrá que:
x = u , y = v , y’ = tg θ , v’ = tg φ
Se debe ahora establecer una relación entre las derivadasy’ = tg θ , v’ = tg φ. Para
ello, se trasladará la recta tangente a F1(x, y, C1) = 0 en el punto P(x, y), hasta el punto de
corte de la recta tangente a T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y) con el eje x (ver Figura 3).

F1 ( x, y, C1) = 0

Y

L F1
ω
T1 ( x, y, K1) = 0

P(x,y)
ω
θ

φ

θ
X

Figura 3

L T1

7
De la Figura 3 se deduce que:
θ = φ – ω.
Por identidades trigonométricas
tg θ = tg (φ – ω)=

tgφ - tg ω
1 + tgφ tg ω

De acuerdo a lo indicado en la observación tg θ = y’, tg φ = v’, entonces al sustituir en
la ecuación anterior, resulta que:
v ' - tg ω
y’=
1 + v ' tg ω
Esta última ecuación permite establecer una relación entre las derivadas de las curvas
F1(x, y, C1) = 0 y T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y).
Ya que f(x, y, y’) = 0 es la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas F(x,
v ' - tg ω
y, C) = 0, entonces sustituyendo en dicha ecuación diferencial y’ por
, se obtiene
1 + v ' tg ω
v ' - tg ω
)=0
una nueva ecuación diferencial f(x, y ,
1 + v ' tg ω
Esta es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias que mantiene un
ángulo ω, con la familia F(x, y, C) = 0. Resolviendo la nueva ecuación diferencial se obtiene
la familia T(x, y, k) = 0,familia que representa las trayectorias ω a la familia dada F(x,
y, C) = 0.

OBSERVACIÓN:
La ecuación diferencial
v ' - tg ω
) = 0
1 + v ' tg ω
tiene sentido siempre y cuando ω ≠ 90º, ya que tg 90º se indetermina.

f(x, y,

Si ω = 90º entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos de
intersección son perpendiculares. Por geometría, se sabe que, si dos rectas son
perpendiculares entonces...