Aplicaciones a la derivada

APLICACIONES A LAS DERIVADAS
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Suponga que s, el dominio de f, contiene el punto c. decimos que:
f(c) es el valor máximo de f en s, si f(c)≥f(x) para toda x en s;f(c) es el valor mínimo de f en s, si f(c) ≤ f(x) para toda x en s;
f(c) es el valor extremo de f en s, si es un valor máximo o un valor mínimo;
la función que queremosmaximizar es la función objetivo.
S
TEOREMA A
Teorema de existencia de máximo y mínimo
Si f es continua en un intervalo cerrado [A, B], entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo enese intervalo.
Teorema de los puntos críticos
sea f definida en un intervalo i que contiene al punto c. si f(c) es un valor extremo, entonces c debe ser un punto critico; es decir, c es algúnde los siguientes:
un punto fronterizo de i;
un punto estacionario de f; es decir, un punto en donde f´(c) =0
un punto singular de f; esto es, un punto en donde f´(c) no existe.EJEMPLO 1
Determine los valores máximos y mínimos de f(x) =X3 en [-2,2].
Solución:
La derivada de f´(x) =3X2, que esta definida en (-2,2) y es cero solo en x=0. por lo tanto , lospuntos críticos sen x=0 y los puntos fronterizos x=-2 y x=2. al evaluar f en los puntos críticos se obtiene f(-2) =-8, f(2)=8. por lo tanto, el valor máximo de f es 8 (que se alcanza en x=2) y el mínimoes -8 (que es alcanza en x=-2).
Observe que en el ejemplo 2, f´ (0) =0, pero f no alcanza un mínimo o un máximo en x=0. estono contradice al teorema b. esto no dice que si c es un punto critico,entonces f(c) es un mínimo o un máximo, entonces c es un punto critico.
EJEMPLO 2
Encuentre los valores máximo y mínimo de
F(x) = -2X3+3X2 en [- 12 , 2].
Solución:
En el ejemplo 1identificamos - 12 , 0, 1 y 2 como los pujntos criticos.
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EJEMPLO 3
La función f(x) = X23 es continua en todas partes. Encuentre sus valores maximo y minimo en [-1,2].
SOLUCIÓN:
f´(x)...