aplicación de la integral definida

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Capítulo 4
Aplicaciones
de la integral
definida
Módulo 18
Área de una región plana
Módulo 19
Volúmenes de sólidos por
secciones transversales

El puente de Occidente, erigido por el ingeniero antioqueño Jose Maria Villa, no solamente es un
trabajo original en su concepción sino que es orgullo de la ingenieria del país y es considerado
monumento nacional por ley de la República.Módulo 20
Volúmenes de sólidos de
revolución
Módulo 21
Longitud de arco de una curva plana
y área de superficie de revolución
Módulo 22
Momentos y centros de masa

En el capítulo 3 presentamos la relación existente entre la integral definida y las
llamadas sumas de Riemann. Vimos además la relación que establece el segundo
teorema fundamental del cálculo entre la integral definida yla primitiva o antiderivada
de la función y de la cual se dijo la importancia que tendría en las aplicaciones de la
integral definida.
En este capítulo veremos cómo todos estos conceptos pueden usarse para el cálculo de áreas de figuras planas, volúmenes de sólidos, longitudes de arcos de curvas
planas, momentos y centros de masa, etc. Todas estas medidas son límites de las
sumas de Riemannpara cada caso, transformadas luego en integrales y solucionadas usando el segundo teorema fundamental del cálculo.

Módulo 23
Los teoremas de Pappus
Módulo 24
Trabajo mecánico
Módulo 25
Presión de líquidos
Ejercicios
Módulos 18 al 25

202

18

Área de una región plana
Contenidos del módulo
18.1 Área entre curvas
18.2 Ejemplos resueltos de áreas entre curvas

Objetivos delmódulo

Isaac Barrow

1. Usar la integración en aplicaciones geométricas. En particular, determinar el área
bajo una función positiva y definida en un intervalo [a, b].
2. Generalizar el objetivo anterior en determinar el área entre dos o más curvas en el
plano cartesiano.

Preguntas básicas
1. El valor medio de una función f (x) en el intervalo [a, b] viene dado por
b
1
f ( x) dx. Calculeel valor medio de f (x) = x2 en el intervalo [0, 3] y
b − a ∫a
pruebe que el área comprendida entre y = M e y = f (x) es igual al área comprendida entre y = M y el eje x.

M=

1
1
e y=
y a la derecha de la recta
x
x +1
x = 1. ¿El área de R es finita o infinita? Si es finita, calcule su valor.

2. Sea R la región entre las curvas y =

1
1
e y = 2 y a la derecha de la recta x = 1.x
x
¿El área de R es finita o infinita? Si es finita, calcule su valor.

3. Sea R la región entre las curvas y =

Introducción
En el módulo 13 del capítulo 3 se introdujo la integral definida para calcular el área
bajo una curva. En particular, cuando f ( x) ≥ 0 en [a, b] considerábamos una
n

aproximación para el área A la igualdad A = ∑ f (ti ) Δxi , y como valor real del área
i =1el límite de las sumas de Riemann cuando el número de rectángulos aumentaba
n

b

i =1

a

indefinidamente, es decir, A = lim ∑ f (ti ) Δxi = ∫ f ( x) dx.
n →∞

El teólogo y matemático inglés Isaac Barrow
nació en Londres en 1630 y murió allí
mismo el 4 de mayo de 1677. Barrow es
considerado por muchos como uno de los
matemáticos más relevantes de su tiempo
(sobre todo engeometría), pero históricamente se le ha dado poco mérito al papel
que desempeñó en el desarrollo del cálculo
a pesar de que los métodos que empleaba
eran muy próximos a los que se usan
actualmente en esta rama de las
matemáticas.
Barrow empezó se formación académica
en el colegio Charterhouse de Londres
(donde era tan agresivo y combativo que
se cuenta que su padre rezaba a Dios parapedirle que si algún día tenía que llevarse a
alguno de sus hijos, se llevara a primero a
Isaac) y completó su educación en el Trinity
College de la Universidad de Cambridge.
Fue muy estudioso y sobresalió especialmente en matemáticas. Tras graduarse en
1648 residió unos cuantos años en
Cambridge, luego viajó por Francia, Italia e
incluso Constantinopla, y tras varias
aventuras regresó a...