Aplicación De Las Derivada Máximos Y Mínimos

| LECTURA Nº25: APLICACIONES DE LA DERIVADA: MÁXIMOS Y MÍNIMOS. |
| Material recopilado con fines instruccionales por:Lorenzo, J.; Pinto, B. (2.009) Aplicaciones de la derivada: máximos y mínimos. Artículo no publicado. Caracas |

En lo cotidiano se nos presentan situaciones las cuales queremos buscar la mejor forma de resolverlas. Los ejemplos son múltiples, tomaremos solo algunos, loscuales enunciaremos a continuación: Un fabricante desea minimizar el costo de distribución de su producto, un médico deseará elegir la menor cantidad de medicamento que mejore una enfermedad, un conuquero desearía saber la combinación de plantas que le permita aprovechar mejor el terreno, un empresario desearía saber como invertir su capital para obtener la mayor ganancia, entre otros. En algunoscasos, problemas de esta naturaleza se pueden formular de tal forma que involucren máximos y mínimos de funciones en un determinado conjunto, es aquí donde los métodos de cálculo nos dan una herramienta importante para poder resolver los mismos.
Ya en la Unidad 1 se hizo referencia a los máximos y mínimos de una función continua (Teorema de weierstrass), continuaremos profundizando sobre estostópicos, para lo cual comenzaremos por definir puntos máximos y mínimos absolutos y relativos (locales) de una función real.

Punto máximo y mínimo absoluto (globales)
Sea la función tal que
Donde y sea y sean .
es un punto máximo absoluto de en
es un punto mínimo absoluto de en
Es decir, en es donde la función tiene su mayor valor y denomina valor máximo absoluto.
Esdecir, en es donde la función tiene su menor valor y denomina valor mínimo absoluto.
Los máximos y mínimos absolutos también se conocen como máximos y mínimos globales
Punto máximo y mínimo relativo (locales)
Sea la función tal que
Donde y sean .
es un punto máximo relativo o local de
es un punto mínimo relativo o local de
Los máximos y mínimos relativos también seconocen como máximos y mínimos locales.
En otras palabras, es un punto máximo relativo o local porque es la mayor imagen de toda aquellas imágenes de los puntos cercanos a , de igual manera,
es un punto mínimo relativo porque es la menor de las imágenes de todos los puntos cercanos a .
Veamos la gráfica siguiente:

Fig. 176

El punto máximo absoluto esta ubicado en y el valor máximoabsoluto es , hay dos puntos mínimos absolutos y , el valor mínimo absoluto es . Los puntos máximos relativos son , y , y sus respectivos valores máximos relativos son , y . Los puntos mínimos relativos son , y , y los valores mínimos relativos son , y .

Nota
Una función puede tener varios puntos máximos o mínimos absolutos, pero tendrán único valor máximo absoluto y un único valor mínimoabsoluto.
Puede tener varios puntos máximos o mínimos relativos y varios valores máximos y mínimos absolutos.
Un punto puede ser simultáneamente máximo relativo y absoluto, de igual manera puede ocurrir con el mínimo.
Un ejemplo sencillo que nos puede ilustrar lo anterior sería el siguiente:
En un salón de clase hay cincuenta alumnos, distribuidos en cinco filas de diez alumnos.
Juan es elalumno más alto de todos y está en la fila dos, Andrés es el alumno de menor estatura del salón y se ubica en la fila cuatro, Pedro es el de mayor estatura de la fila uno, Rafael es el más alto de la fila tres, Mauricio es el más alto de la fila cuatro, Andrea el la más alta de todos los alumnos ubicados en la fila 5. Julio de la fila uno, Marina de la fila dos, Carlos de la fila tres y Luisade la fila cinco son los de estatura más baja en su respectiva fila.
Podemos concluir que:
Juan es el alumno más alto del salón (máximo absoluto), pero también es el mayor de la fila dos (máximo relativo). Pedro, Rafael, Mauricio y Andrea son los más altos de su fila respectiva (máximos relativos)
Andrés es el alumno de menor estatura del salón (mínimo absoluto), pero también lo es de la...