Aplicación a obtención de formas canónicas de las secciones cónicas rotadas

Coordinación de Matemática II (MAT022)
Semestre 2009 Semana 11: martes 13 al viernes 16 de octubre

Complementos
Contenidos Clase 1 Aplicación a obtención de formas canónicas de las seccionescónicas rotadas

Clase 2 Ejercicios de Repaso

1.

Clase 1

Resultado Previo: Considere la matriz simétrica:

donde R, con , esta matriz es diagonalizable, en efecto, basta verificar que poseedos valores propios reales diferentes, para ello, resolvemos:

el discriminante de la ecuación cuadrática es , pues, , de donde las raices (valores propios) son dos reales diferentes entre sí, portanto, la matriz es diagonalizable. Ejemplo: Diagonalizar la matriz

El polinomio característico de es propios son y , con vectores propios asociados:

, de donde los valores

1

y Siestablecemos que , entonces

Mejoraremos esto, fijarse que los vectores propios y son ortogonales (producto punto nulo), así si los normalizamos para obtener vectores unitarios: y y entonces tomamos

Tenemostambién que: . Sin embargo, ahora es una matriz ortogonal en razón de que es un conjunto ortonormal de vectores. Por consiguiente , y tenemos que, ( Nótese que la verificación es fácil, debido a queel cálculo de involucra sólo el cálculo de una transpuesta ) Definición: Una matriz cuadrada ortogonal tal que

es ortogonalmente diagonalizable, si existe una matriz es una matriz diagonal.Teorema: Para una matriz cuadrada , tenemos que es una matriz ortogonalmente diagonalizable, sí y sólo sí A es simétrica Cónicas Rotadas: Estudiaremos las cónica de ecuación:

donde , es decir,estudiaremos las cónicas rotadas. Nos centraremos en el estudio de (la forma cuadrática) , la que con la notaciones: y podemos escribir mediante: 2

donde es una matríz simétrica no diagonal ( ), pero deacuerdo a nuestro resultado previo, es diagonalizable, luego existe una matriz ortogonal tal que, , o bien, , entonces:

Si hacemos el cambio de variable:

equivalentemente, se puede escribir ,...