Apuntes Cálculo I

UNA INTRODUCCIÓN
AL CÁLCULO

El Cálculo tiene la reputación de ser una herramienta esencial para las ciencias. El objetivo de esta introducción
es dar una idea de qué es el cálculo y por qué es útil.
El Cálculo es fundamentalmente diferente de la matemática que se ha estudiado previamente: es menos
estático y más dinámico. Se ocupa del cambio y el movimiento; trata con cantidades que tienden aotras
cantidades. Por esa razón puede ser de utilidad el tener una visión general del tópico antes de comenzar su
estudio intensivo. Aquí echamos una mirada a algunas de las ideas principales del cálculo mostrando cómo
surge el concepto de un límite cuando intentamos resolver una variedad de problemas.

El Problema del Área
Los orígenes del cálculo se remontan al menos a 2500 años a los Griegosantiguos, quienes encontraron áreas
usando el “método exhaustivo”. Ellos sabían cómo hallar el área A de cualquier polígono dividiéndolo en
triángulos como se muestra en la Fig. 1 y sumando las áreas de estos triángulos.

Figura 1

Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. Por ejemplo, el área de una figura
geométrica. El método griego consistía en inscribir polígonos enla figura y circunscribir polígonos en torno a la
figura y luego permitir que el número de lados de los polígonos se incrementase. La Fig. 2 ilustra este proceso
para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos.
Sea An el área del polígono inscrito con n lados. Conforme n aumenta, parece que An se hace más y más cercana
al área del círculo. Decimos que el área del círculo es ellímite de las áreas de los polígonos inscritos y escribimos

A = lím An
n →∞

Los mismos griegos no usaron límites explícitamente. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxio (siglo
V A.C.) usó el método exhaustivo para demostrar la fórmula conocida para el área de un círculo: A = πr 2 .

Figura 2

2
La misma idea se usará más adelante para hallar áreas de regiones del tipo mostrado en laFig. 3. Éste es un
problema mucho más difícil; es decir, dada la gráfica de y = f ( x ) , ¿cuál es el área entre la gráfica de f y el eje x en
algún intervalo? Aproximaremos el área de A por áreas de rectángulos (como en la Fig. 4), permitimos que el
ancho de los rectángulos disminuya y luego calculamos A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos.

Figura 3

Figura 4

El problema delárea, es decir, el área bajo la gráfica de una función en un intervalo se denomina la integral de
la función en el intervalo y hallar integrales o integrar, es el problema central en la rama del cálculo denominada
cálculo integral. Las técnicas que se desarrollarán para encontrar áreas también nos permitirán calcular el
volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza del agua sobre unarepresa, la masa y el centro de
gravedad de una barra y el trabajo realizado al bombear agua desde un tanque.

El Problema de la Tangente
Un problema fundamental es el siguiente: ¿Qué se entiende por la recta tangente a la curva y = f ( x ) en un punto
dado? Es decir, ¿cómo resolver el problema de hallar una ecuación para la recta tangente t a una curva con
ecuación y = f ( x ) en un punto dado P. Másadelante, en el curso, se dará una definición precisa de una recta
tangente. Por ahora podemos pensar en ella como una línea recta que toca la curva en P como en la Fig. 5 (la
palabra tangente proviene de la palabra en latín tangens, que significa “tocar”). Como sabemos que el punto P
está en la recta tangente, podemos hallar la ecuación de t si conocemos su pendiente m. El problema es quenecesitamos dos puntos para calcular la pendiente y sólo conocemos un punto, P, en t. Para manejar el
problema, primero hallamos una aproximación a m tomando un punto cercano Q en la curva y calculamos la
pendiente mPQ de la segunda recta PQ. De la Fig. 6 vemos que

mPQ =

Figura 5

f ( x ) − f ( a)
x−a

(0.1)

Figura 6

Imagínese ahora que Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, como en la Fig....