Apuntes ma1001

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ´ MA-1001 CALCULO I LIC. LEINER V´ IQUEZ GARC´ IA

´ APUNTES PARA EL CURSO DE CALCULO I

L´ IMITES DE FUNCIONES
´ DEFINICION: Decimos que el l´ ımite de f (x) cuando “x” tiende a “c”, es igual a “L” si a medida que los valores de “x” se aproximan a “c”, ya sea por la derecha o por la izquierda, entonces los valores de f (x) se aproximan a “L”. Esto se escribe l´f (x) = L lo que tambi´n se puede escribir como f (x) → L cuando x → c. ım e
x→c

Veamos un ejemplo utilizando una tabla de valores. Consideremos la funci´n f (x) = o aproxima f (x) si x se aproxima a 2? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· x y 1,5 3,5 1,9 3,9 1,99 3,99 1,999 3,999 4 2

x2 − 4 , ¿a qu´ valor se e x−2

··································· 2,0014,001 2,01 4,01 2,1 4,1 2,5 4,5

··································· Lo que en la gr´fica se ver´ as´ a ıa ı:

···································

Observe que aunque la funci´n no est´ definida para x = 2 (restricci´n), para valores muy cercanos a 2, tanto o a o a la izquierda (valores menores que 2) como a la derecha (valores mayores que 2), las im´genes se aproximan a 4. a ımite lateralN´tese que el 4 no es imagen de 2. Esto se representa mediante los l´ o ımites laterales l´ − f (x) = 4 (l´ ım
x→2

izquierdo) y l´ + f (x) = 4 (l´ ım ımite lateral derecho). Al coincidir ambos, decimos que 4 es el l´ ımite de f (x) cuando
x→2

x tiende a 2, lo que simb´licamente se representa as´ o ı: l´ f (x) = 4 ım o tambi´n e x2 − 4 =4 x→2 x − 2 l´ ım

x→2

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EXISTENCIA DEL L´ IMITESi f es una funci´n y si “c” y “L” son n´meros reales, decimos que l´ f (x) = L si y s´lo si: o u ım o
x→c x→c−

l´ f (x) = l´ f (x) = L ım ım
x→c+

EJEMPLO.

 2x + 3, si  Considere la funci´n f (x) = o 5, si  2  x + 1, si

x < −1 e x = −1 ¿Qu´ sucede cuando los valores de x se aproximan a −1? x > −1

··································· x y −1,2 0,6 −1,1 0,8 −1,01 0,98 −1,001 0,9985 5

-1

··································· −0,999 1,998 −0,99 1,98 −0,9 1,81 −0,8 1,64

···································

?

···································

Observe que cuando los valores de x se aproximan a −1 por la izquierda (valores menores que −1), las im´genes a se aproximan a 1. Lo anterior se puede representar como un l´ ımite lateral izquierdo l´ − f (x) = 1. A lavez, ım
x→−1

cuando los valores de x se aproximan a −1 por la derecha (valores mayores que −1), las im´genes se aproximan a a 2. Esto se representa con el l´ ımite lateral derecho l´ + f (x) = 2. Lo anterior se cumple independientemente de ım
x→−1

que la imagen de −1 sea 5, pues f (−1) = 5. Sin embargo, al ser diferentes los l´ ımites laterales, no podemos decir que l´ f (x) exista. As´para que un ım ı,
x→−1

l´ ımite exista, los l´ ımites laterales deben ser iguales.

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Ejemplo. De acuerdo con los datos de la figura en la que aparece representada la funci´n f (x), determine (si existe) o el valor de cada uno de los l´ ımites que se le piden.

x→3−

l´ f (x) ım l´ f (x) ım

x→3+

l´ f (x) ım

x→3

l´ f (x) ım

x→−1−

x→−1+

l´ f (x) ım l´ f (x) ım l´ f (x)ım

x→−1

l´ f (x) ım l´ f (x) ım

x→0−

l´ f (x) ım l´ f (x) ım l´ f (x) ım

x→0+

x→0

x→2−

x→2+

x→2

l´ f (x) ım

x→−2−

x→−2+

l´ f (x) ım l´ f (x) ım

x→−2

l´ f (x) ım l´ f (x) ım

x→5−

l´ f (x) ım l´ f (x) ım

x→5+

x→5

x→−3−

x→−3+

l´ f (x) ım l´ f (x) ım

x→−3

l´ f (x) ım l´ f (x) ım

x→4−

l´ f (x) ım

x→4+

x→4

4PROPIEDADES DE LOS L´ IMITES
Si c, L y M son n´meros reales tales que l´ f (x) = L, l´ g(x) = M , k es una constante real cualquiera, n u ım ım
x→c x→c

es un entero positivo, se cumplen las siguientes propiedades: (1) El l´ ımite de una suma o resta de funciones l´ (f (x) ± g(x)) = l´ f (x) ± l´ g(x) = L ± M ım ım ım
x→c x→c x→c

(2) El l´ ımite de un producto de funciones l´ (f (x) · g(x)) =...