Area y volumen mediante integracion doble 2011-1

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Área y Volumen mediante Integración Doble Área de una Región Cuando f (x, y) ≡ 1 para todo (x, y) en R, entonces la integral doble sobre R f(x,y)dA nos
R

da el área de la región plana R, esdecir A =  dA . Veamos que esta igualdad concuerda con
R

los resultados ya estudiados para determinar el área de una región en el plano. Supongamos que R es la región tipo I limitada por a  x  by y = g2(x)
R

y

g1(x)  y  g2(x)

y = g1(x) x a b x

El área de R viene dada por la integral definida
a A =  b g (x)  g (x)dx  2 1   

Usando el teorema fundamental delcálculo, podemos reescribir el integrando g 2(x) – g1(x) como una integral definida como sigue:

g (x) 2 g (x) 1

dy 

g (x) y 2  g (x)  g (x) 1 2 g (x) 1

Así, combinando estos resultadospodemos escribir el área de la región R como una integral iterada:
b g (x) A =  a  g2(x) dydx . Notemos que el integrando es f(x, y) 1 para (x, y) en R. 1

En forma similar si la región R es del tipoII, podemos escribir el área de la región R como una integral iterada:
y x = h1 (y) x = h2 (y)

d R y

c

x

d h (y) A =  c  h 2(y) dxdy . 1

Destacamos aquí que el integrando esf(x, y) 1 para (x, y) en R.

Volumen de un Sólido Así como la definición de integral definida para funciones de una sola variable es motivada por el problema del cálculo de áreas, la definición deintegral doble está motivada por el problema del cálculo del volumen V del sólido de la figura, un sólido acotado por arriba por la gráfica z = f (x, y) de la función no negativa f y sobre la región R. Consideremos una función continua f tal que f (x, y)  0 para todo (x, y) en una región acotada R del plano xy. Así el volumen del sólido situado entre la superficie dada por z = f (x, y) y sobrela región R está dado por (1) V =  f(x, y)dA
R

si esta integral existe.

De donde la integral dada en (1) se expresa como integral iterativa dependiendo de sí R es una región rectangular,...
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