Aritmetica del punto flotante

Aritmética del punto flotante
El sistema numérico que se usa cotidianamente se llama sistema decimal. La base del sistema numérico decimal es 10 . Sin embargo, las computadoras no usan el sistema decimal en los cálculos ni en la memoria, sino que usan el sistema binario (base 2 ). La base de un número se denota por medio de un subíndice; por ejemplo: 3 22410 , es 3 224 en base 10 ó 1001 112 , es1001 11 en base 2 . Un esquema de almacenamiento ampliamente usado para la forma binaria es el estándar de la IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. Esta forma fue definida por el Institute of Electrical and Electronic Engineers, IEEE (Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos). En general los fabricantes de las microcomputadoras utilizan este estándar para el hardware depunto flotante. Para almacenar un número en forma binaria, primero se normaliza; es decir, se vuelve a escribir el número, en un equivalente binario de notación científica convencional, desplazando el punto decimal inmediatamente a la derecha del primer bit significativo del número (es decir después del primer 1 de izquierda a derecha). Luego el resultado se multiplica por 2 n , si el punto sedesplazó n posiciones a la izquierda, o por 2 n si el punto se desplazó n posiciones a la derecha; la multiplicación es necesaria para recuperar el valor original del número. Un número de punto flotante se puede escribir en la forma normalizada general, de la siguiente manera:

V

( 1)s (1 f )2 (2t )10

(1.7)

donde V es el número de punto flotante, s es el bit de signo, cuyo valor puede ser 0 ó1 (si s 1 indica un número negativo, si s 0 indica un número positivo). Los bits significativos del número están contenidos en la cantidad (1 f ) , que se denomina mantisa. La potencia t al final de la representación es la característica ó exponente. El valor binario del exponente t no se almacena directamente; en vez de ello, se almacena en forma sesgada o equivalente como un valor binario nonegativo c . La relación del exponente real t en términos del valor almacenado c y el sesgo b es:

t

c b c t b

(1.8) (1.9)

donde b , toma un valor 127 para precisión simple ( 32 bits) y 1023 para precisión doble ( 64 bits). El formato de precisión simple usa 32 bits, de los cuales el primer bit (llamado bit más significativo), está reservado para el bit del signo s ; los 8 bits siguientesse usan para almacenar un patrón de bits que representan el exponente t en forma sesgada (c) y los 23 bits restantes se usan para la mantisa f . Sólo se almacena la parte de la mantisa denotada por f porque el dígito principal siempre es igual a 1 y se entiende que forma parte del número.

El formato de precisión doble usa 64 bits, de los cuales el primer bit, está reservado

para el bit delsigno s ; los 11 bits siguientes se usan para almacenar un patrón de bits que representan el exponente t en forma sesgada (c) y los 52 bits restantes se usan para la mantisa f . Sólo se almacena la parte de la mantisa denotada por f porque el dígito principal siempre es igual a 1 y se entiende que forma parte del número.

El exponente es desplazado antes de ser almacenado, ajustando su valorpara ponerlo dentro de un rango sin signo adaptable a una comparación. Así, para un número en precisión simple, un exponente en el rango 126 ( 1111110 2 ) a 127 (11111112 ) es desplazado mediante la suma de 127 para obtener un valor en el rango 1 a 254 ( 0 y 255 tienen valores especiales descritos más adelante). Para un número en precisión doble, un exponente en el rango 1022 ( 11111111102 ) a 1023(11111111112 ) es desplazado mediante la suma de 1023 para obtener un valor en el rango 1 a 2046 ( 0 y 2047 tienen valores especiales descritos más adelante). Antes de ver como se almacena un número en una computadora en una palabra de 32 y 64 bits, es necesario saber como realizar las conversiones del sistema decimal al binario y viceversa; tanto para números enteros, como para fraccionarios....