Articulo de metodos numericos

Objetivo:
Conocer y determinar las ventajas y desventajas de un método abierto.
Desarrollo:
Iteración simple de punto fijo
Los métodos abiertos emplean formulas para predecir la raíz.Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo), al reordenar la ecuación fx=0 de tal modoque x este al lado izquierdo de la ecuación:
x=gx 6.1()
Por ejemplo x2-2x+3=0 x=x2+32
Ósea que nos ayuda a proporcionar una fórmula para predecir un nuevo valor de x en función del valoranterior de x.
De esta manera dado un valor inicial para la raízxi se utiliza para obtener una nueva aproximación xi+1 expresado por la formula iterativa.
xi+1=g(xi)
Por lo tanto tenemos el erroraproximado.
Ea=xi+1-xixi+1100%
Por ejemplo usar la iteración simple para localizar la raíz de fx=e-x-x
xi+1=e-xi
Empezando con un valor inicial x0=0
Convergencia
Es cuando un númerotiende a acercarse a un número en especial.
Método de Newton-Raphson
Si el valor inicial para una raíz esxi entonces se puede trazar una tangente desde el punto
xi,f(xi) de la curva. El puntodonde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz. (Un método alternativo basado en la serie de Taylor).
f'(xi)=f(xi)-0xi-xi+1
xi+1=xi+f(xi)f'(xi) La cual se leconoce como la formula de Newton-Raphson
Por ejemplo usar Newton-Raphson para localizar la raíz de fx=e-x-x
f'xi=-e-x-1
Se sustituye en la función original para obtener.xi+1=xi+e-x-x-e-x-1
Como se muestra el método es convergente en forma cuadrática es decir el error es proporcional al cuadrado del error anterior.
Pero también el método de Newton-Raphson es muy deficiente porqueal encontrarse con funciones simples encuentra la raíz pero converge muy lentamente por lo cual tenemos que buscar un valor aproximado para poder tener una mejor estimación.
Por ejemplo...