Articulos de tics

Ejercicios resueltos de Matemática discreta: Combinatoria, funciones generatrices y sucesiones recurrentes.
(4º Ingeniería informática. Universidad de La Coruña)

José Manuel Ramos González

Introducción

Estos ejercicios han sido propuestos por los profesores de Matemática discreta del cuarto curso de Ingeniería Informática en la universidad de La Coruña. Fueron resueltos por mí paraayudar a mi hijo, en ese momento estudiante de esa carrera. En mi calidad de profesor de matemáticas de enseñanza secundaria, tuve previamente que estudiar el tema de funciones generatrices y sucesiones recurrentes para proceder a su resolución, ya que los tenía olvidados de mi época de estudiante. Por ello quiero dejar de manifiesto en esta breve introducción que, si bien los resultados han sidocontrastados en su mayoría, algunos (espero que en una ínfima cantidad) pueden contener algún error, tanto en su solución como en su transcripción al ser escritos, no responsabilizándome de las consecuencia que dichos errores puedan inducir.

J.M. Ramos Pontevedra 2008

Ejercicios de combinatoria resueltos. Matemática Discreta. 4º Ingeniería Informática

CAPÍTULO I

COMBINATORIA

JoséManuel Ramos González

Ejercicios de combinatoria resueltos. Matemática Discreta. 4º Ingeniería Informática

1. Un número telefónico consta de siete cifras enteras. Supongamos que la primera cifra debe ser un número entre 2 y 9, ambos inclusive. La segunda y la tercera cifra deben ser números entre 1 y 9, ambos inclusive. Cada una de las restantes cifras es un número entre 0 y 9, ambos inclusive.¿Cuántos números de teléfono distintos pueden formarse con estas condiciones? SOLUCIÓN: Para la primera cifra tenemos 8 casos. Para la segunda y tercera juntas son RV9,2 y las restantes serán RV10,4. En consecuencia el número de teléfonos es 8.92.104 = 6.480.000 2. Una empresa produce cerraduras de combinación. Cada combinación consta de tres números enteros del 0 al 99, ambos inclusive. Por elproceso de construcción de las cerraduras cada número no puede aparecer más de una sola vez en la combinación de la cerradura. ¿Cuántas cerraduras diferentes pueden construirse? SOLUCIÓN: Una posible combinación sería 1, 23, 87 que sería distinta de 23, 1, 87, por lo que importa el orden. Por otra parte nos dicen que cada número no puede aparecer más de una sola vez, por lo que no hay repetición.Se trata de V100, 3 = 100.99.98 3. El consejo directivo de una empresa informática tiene 10 miembros. Se ha programado una próxima reunión de accionistas para aprobar una nueva lista de ejecutivos (elegidos entre los 10 miembros del consejo). ¿Cuántas listas diferentes, formadas por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero, pueden presentar el consejo a los accionistas para suaprobación?Si tres miembros del consejo son ingenieros en informática ¿cuántas de las anteriores listas tienen: a) un ingeniero propuesto para la presidencia? b) exactamente un ingeniero en la lista? c) al menos un ingeniero en la lista? SOLUCIÓN: Llamemos a los miembros 1,2,3,..., 10 Una lista sería 1,2,3,4 otra sería 4,5,3,1 donde el orden importa ya que el primero sería el presidente, elsegundo el vicepresidente, el tercero el secretario y el cuarto el tesorero, es decir que la lista 1,2,3,4 no sería la misma que la 4,3,2,1 ya que el primer caso el presidente sería 1 y en el segundo sería 4. Obviamente no hay repetición. Así pues el número de listas es V10,4= 10.000. a) Si tres miembros del consejo son ingenieros. ¿En Cuántas listas hay un ingeniero propuesto para la presidencia?Fijamos el presidente (3 casos) y variamos a los restantes. Tendríamos entonces

3.V9,3 = 3.9.8.7
José Manuel Ramos González

Ejercicios de combinatoria resueltos. Matemática Discreta. 4º Ingeniería Informática b) En cuantas listas hay exactamente un ingeniero. Tenemos 3 ingenieros para 4 posiciones y los 7 miembros restantes los variamos de 3 en 3 4.3.V7,3 c) En cuantas listas hay por lo menos...