Asintotas
Introducción
Uno de los temas más interesantes del estudio del análisis de funciones de los últimos cursos de bachillerato (y primero de carrera) es la representación de funciones de una variable. Y entre los cálculos que se entienden necesario para recopilar datos suficientes para la representación se encuentra elcálculo de las asíntotas de la función. Eneste artículo, muy adecuado teniendo en cuenta las fechas en las que estamos (cerca de los exámenes de septiembre), vamos a ver cómo realizar dicho cálculo.
Definición y tipos
Podemos definir el concepto de asíntota de la siguiente forma:
Dada una función cuya gráfica es la curva se dice que la recta es una asíntotade si la curva se acerca a indefinidamente sin llegar a coincidir con lapropia .
Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de asíntotas:
* Asíntotas horizontales
* Asíntotas verticales
* Asíntotas oblicuas
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma . Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando ) yotra por la derecha (cuando ). Se calculan de la siguiente forma:
Si , entonces es una asíntota horizontal para (por la izquierda).
Si , entonces es una asíntota horizontal para (por la derecha).
Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos:
1. Funciones que no tienen asíntotas horizontales
Por ejemplo, cumple que los dos límites expuestos anteriormente dan comoresultado y respectivamente. Vemos su gráfica:
2. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado
Como ejemplo tenemos la función . En este caso , por lo que es una asíntota horizontal de por la izquierda, y , por lo que por la derecha no tenemos asíntota horizontal. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):
3. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es porlos dos lados
Por ejemplo, . En este caso, , por lo que la recta es asíntota horizontal de tanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):
4. Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas
Por ejemplo cumple que , por lo que es asíntota horizontal de por la izquierda y , por lo que es asíntota horizontal de por la derecha.Podéis ver su gráfica junto a sus dos asíntotas (en azul) en la siguiente imagen:
Asíntotas verticales
Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma . No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay funciones que no tienen asíntotas verticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones quetienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:
Si , entonces es asíntota vertical para (por la izquierda de la misma si el límite ha dado y por la derecha si el límite ha dado ).
Si , entonces es asíntota vertical para (por la izquierda de la misma si el límite ha dado y por la derecha si el límite ha dado ).
Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de esto es lasiguiente: en las asíntotas horizontales planteamos siempre los mismos límites y el resultado es el que nos dice sin existen o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores de para los cuales calcular los límites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales sea factible la existencia de asíntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar).
Losvalores candidatos a existencia de asíntota vertical son los siguientes:
1. Valores que anulan algún denominador de la función
Por ejemplo, para tenemos un candidato a asíntota vertical en el punto .
2. Extremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominio
Por ejemplo, el dominio de es el intervalo . Por tanto, es un candidato a asíntota vertical para esta...
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