Asintotas

ASINTOTAS

Definición y tipos

Podemos definir el concepto de asíntota de la siguiente forma:
Dada una función [pic]cuya gráfica es la curva [pic]se dice que la recta [pic]es una asíntota de [pic]si la curva [pic]se acerca a [pic]indefinidamente sin llegar a coincidir con la propia [pic].
Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos deasíntotas:
• Asíntotas horizontales
• Asíntotas verticales
• Asíntotas oblicuas

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma [pic]. Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando [pic]) y otra por la derecha (cuando [pic]). Se calculan de la siguiente forma:
Si [pic], entonces[pic]es una asíntota horizontal para [pic](por la izquierda).
Si [pic], entonces [pic]es una asíntota horizontal para [pic](por la derecha).
Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos:
1. Funciones que no tienen asíntotas horizontales
Por ejemplo, [pic]cumple que los dos límites expuestos anteriormente dan como resultado [pic]y [pic]respectivamente. Vemos su gráfica:
[pic]2. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado
Como ejemplo tenemos la función [pic]. En este caso [pic], por lo que [pic]es una asíntota horizontal de [pic]por la izquierda, y [pic], por lo que por la derecha no tenemos asíntota horizontal. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):
[pic]
3. Funciones que tienen una asíntota horizontal que loes por los dos lados
Por ejemplo, [pic]. En este caso, [pic], por lo que la recta [pic]es asíntota horizontal de [pic]tanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):
[pic]
4. Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas
Por ejemplo [pic]cumple que [pic], por lo que [pic]es asíntota horizontal de [pic]por laizquierda y [pic], por lo que [pic]es asíntota horizontal de [pic]por la derecha. Podéis ver su gráfica junto a sus dos asíntotas (en azul) en la siguiente imagen:
[pic]

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma [pic]. No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay funciones que no tienenasíntotas verticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:
Si [pic], entonces [pic]es asíntota vertical para [pic](por la izquierda de la misma si el límite ha dado [pic]y por la derecha si el límite ha dado [pic]).
Si [pic], entonces [pic]es asíntota vertical para [pic](por la izquierda de la misma siel límite ha dado [pic]y por la derecha si el límite ha dado [pic]).
Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de esto es la siguiente: en las asíntotas horizontales planteamos siempre los mismos límites y el resultado es el que nos dice sin existen o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores de [pic]para los cuales calcular los límites. Evidentementedebemos aportar puntos para los cuales sea factible la existencia de asíntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar).
Los valores candidatos a existencia de asíntota vertical son los siguientes:
1. Valores que anulan algún denominador de la función
Por ejemplo, para [pic]tenemos un candidato a asíntota vertical en el punto [pic].
2. Extremos de intervalosdel dominio que no pertenezcan al propio dominio
Por ejemplo, el dominio de [pic]es el intervalo [pic]. Por tanto, [pic]es un candidato a asíntota vertical para esta función.
En consecuencia, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular las asíntotas de una función es calcular su dominio (fundamental para cualquier cálculo relacionado con la gráfica de una función) e igualar...