Atomo Pionico 2013

Ecuación de
Klein-Gordon y
potencial de
Coulomb
Marina de la Torre
Separación de
variables: Potencial
central
Átomo piónico con
un núcleo puntual
Estados ligados:
Ecuación radial
Espectro de energía
Autofunciones
Análisis del espectro

Bibliografía

Ecuación de Klein-Gordon y potencial de
Coulomb
Marina de la Torre

2013

Ecuación de
Klein-Gordon y
potencial de
Coulomb

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Marina de laTorre
Separación de
variables: Potencial
central
Átomo piónico con
un núcleo puntual
Estados ligados:
Ecuación radial

1

Separación de variables: Potencial central

2

Átomo piónico con un núcleo puntual
Estados ligados: Ecuación radial
Espectro de energía
Autofunciones
Análisis del espectro

3

Bibliografía

Espectro de energía
Autofunciones
Análisis del espectro

Bibliografía

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Coulomb

Separación de variables: Potencial
central

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Separación de
variables: Potencial
central
Átomo piónico con
un núcleo puntual

• Consideremos la ecuación de Klein-Gordon en presencia de un
potencial central, es decir,

Estados ligados:
Ecuación radial

eφ = V(r)

Espectro de energía
Autofunciones
Análisis del espectro

Bibliografía

y busquemossoluciones estacionarias, tales que:
ψ(x, t) = e−

i

Et

φ(x)

• La ecuación de Klein-Gordon en presencia de un campo
electromagnético externo con A = 0 y eφ = V(r) es,
1
(E − V(r))2 φ(x) = [(−i ∇)2 + m2 c2 ]φ(x)
c2
o bien
[(E − V(r))2 − m2 c4 +

2 2

c ∆]φ(x) = 0

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potencial de
Coulomb

Separación de variables: Potencial
central

Marina de la Torre
Separación de
variables:Potencial
central

• Ecuación estacionaria de Klein-Gordon con un potencial central V(r):

Átomo piónico con
un núcleo puntual

[(E − V(r))2 − m2 c4 +

Estados ligados:
Ecuación radial

2 2

c ∆]φ(x) = 0

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Autofunciones
Análisis del espectro

Bibliografía

• Si el potencial es central es conveniente expresar el Laplaciano en
coordenadas esféricas:
∆=

1 ∂
r2 ∂r

r2

∂
∂r

+

1
∂2
r sin θ ∂θ

sin θ

∂
∂θ

+

1
∂2
r2 sin2 θ ∂ϕ2

• Supongamos que la función de onda es separable en una parte angular
y otra radial:
φ(x) = R(r)Y(θ, ϕ)

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variables: Potencial
central
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un núcleo puntual
Estados ligados:
Ecuación radial
Espectro de energía
Autofunciones
Análisis del espectroBibliografía

Separación de variables: Potencial
central
• Sustituyendo este ansatz en la ecuación de Klein-Gordon obtenemos
dos ecuaciones separadas:
La ecuación radial:
1 ∂
r2 ∂r

r2

∂R(r)
∂r

+

(E − V(r))2 − m2 c4
λ
− 2 R(r) = 0 (1)
2 c2
r

La ecuación angular:
1 ∂
sin θ ∂θ

sin θ

∂Y(θ, ϕ)
1 ∂ 2 Y(θ, ϕ)
+ 2
+ λY(θ, ϕ) = 0 (2)
∂θ
sin θ ∂ϕ2

donde λ es la constante de separación.

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potencial de
Coulomb

Separación de variables: Potencial
central

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Separación de
variables: Potencial
central
Átomo piónico con
un núcleo puntual
Estados ligados:
Ecuación radial

Las soluciones de la ecuación angular son los armónicos esféricos:
Ylm (θ, ϕ), con λ = l(l + 1) siendo l = 0, 1, 2, · · · y
m = −l, −l + 1, · · · , l.

Espectro de energía
Autofunciones
Análisisdel espectro

Bibliografía

Sustituyendo λ = l(l + 1) en la ecuación radial y R(r) =
obtiene la siguiente ecuación para cada l:
d2
l(l + 1)
−
+ k2 ul (r) = 0
2
dr
r2
donde
k2 =

(E − V(r))2 − m2 c4
2 c2

ul (r)
r ,

se

(3)

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