Autovalores

ALGEBRA LINEAL
AUTOVALORES

A los Autovalores se los representa por la letra griega λ (Lambda) se los llama también Valores propios o Eigenvalores o Valores característicos, son escalares que provienen de Matrices cuadradas de acuerdo a la siguiente definición:
Definición.
Se llaman Autovalores a los valores de λ que satisfacen la ecuación: det (λ I - A) = 0
Esta definición proviene de lanecesidad de obtener valores de λ que permitan la resolución de la ecuación A x = λ x, desarrollando.

Ax = λ x A es cuadrada de tamaño nxn. La multiplicación por la Matriz Identidad I no
Ax = λIx afecta el valor de x.
λ I x – A x = 0 Ordenando en el 1er miembro y factorizando.
(λ I - A)x = 0 Para que exista una solución diferente de cero debe verificarse
que: det (λ I -A) = 0 que: det(λ I – A) = 0

Se llama Ecuaciones característica a: det (λ I - A) = 0, su correspondiente desarrollo es un Polinomio en λ de grado n que se llamara Polinomio característico.
Si la Matriz es de tamaño nXn existirán n Autovalores.
Ejemplo.
Calculando los Autovalores de:
A = 2 53 4 Matriz cuadrada de 2 x 2
det(λ I – A) = 0 Planteando la ecucion característicapara el cálculo de los Autovalores
det λ 1 00 1- 2 53 4 = 0 La Matriz Identidad debe ser del mismo tamaño de la Matriz A
det λ 00 λ- 2 53 4= 0 Efectuando el producto de un escalar por la Matriz identidad.
det λ-2 -5-3 λ-4 = 0 Efectuando la resta entre matrices.


Desarrollando el Determinante de la Matriz.
* (λ-2) λ -4- 15=0 Resolviendo la ecuación-
λ2- 6λ -7=0λ=7 ; λ = -1 Los Autovalores son 7, -1
El Polinomio característico de la Matriz A es: P (λ) = λ2- 6λ-7
Ejemplo.
Calculando los Autovalores de:

A = 1 2 13 2 21 1 2 Matriz cuadrada 3x3
Det (λ I-A)=0 Planteando la ecuación característica para el cálculo de los Autovalores

detλ1 0 00 1 00 0 1-1 2 13 2 21 1 2=0 Efectuando l producto de un Escalar por la Matrizidentidad.
detλλ 0 00 λ 00 0 λ-1 2 13 2 21 1 2=0 Efectuando el producto de un Escalar por la Matriz identidad

Efectuando la resta entre matrices
detλ-1 -2 -1-3 λ -2 -2-1 -1 λ-2= 0 Desarrollando el Determinante de la Matriz
Obtenida, por cualquiera de los métodos vistos en el Cap.II

* λ3-5λ2-λ+5=0 Resolviendo la ecuación cubica
λ1= -1;λ2=5; λ3=1 Los Autovalores son -1, 5, 1

Ejemplo.
Hallar los valores de λ que permitan una solución en A x = λ x, si: A2 41 5
A x = λ x
2 51 5x1x2= λx1x2 Planteando matricialmente lo requerido
Desarrollando el producto de matrices.

2x1+ 4x2= (λ)x1 Ordenando el sistema, llevando todo al 1er miembro, queda expresando como un sistema Homogéneo.
x1+5x2 = λx2
Por elTeorema que expresa:”Para que un Sistema Lineal Homogéneo posea soluciones adicionales a la solución trivial, el Determinante debe ser igual a cero”.
(λ-2)x1- 4x2=0
-x1+ (λ-5)x2=0
Se plantea el Determinante del Sistema y se lo iguala a cero.
∆= λ-2 -4-1 λ-5=0 Resolviendo se obtienen los resultados para λ.

(λ-2)( λ-5)-4=0 Sin embargo note que el procedimiento es equivalente a ladefinición
λ2-7 λ+6=0 de Autovalores.

* λ1=1 ; λ2=6 Precisamente los valores de λ calculados son los de la
Autovalores de la Matriz A.

* Calcular los Autovalores de las siguientes matrices:

a) A=a bc d Matriz general de 2x2. Calculando sus Autovalores de acuerdo a la definición.

Det(λ I – A)=0 Desarrollando el Determinante, se obtiene una ecuaciónde 2do grado para λ

detλ1 00 1-a bc d=0 En esa ecuación de 2do grado se calcula su Discriminante. Desarrollando su
Cuadrada y simplificando

Detλ-1 -b-c λ-d=0 Las condiciones que deben cumplirse para la obtención de Autovalores son:

* (λ-a)( λ-d)-bc=0 Reales y deferentes (a-d)2+4bc>0...