Axiomas de los numeros reales

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NOMBRE: Torres Albino Jessica Grisel

GRUPO: 125

PROFESOR: Raúl Núñez Reyes

MATERIA: Matemáticas I


¿QUE ES UN NUMERO REAL?
¿QUE ES UN NUMERO REAL?
Para dar un mejor entendimiento, empezare por definirlo concretamente…

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión infinita. El conjunto delos números reales contiene todos los números enteros, positivos, negativos, todas las fracciones; y todos los números racionales e irracionales.

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números:

1. Conjunto de los números naturales. ”N” 
Los números naturales se denota por N: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} 2. Conjunto de los números enteros. “Z” 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}  (Se toman en cuenta los positivos y negativos)
En este conjunto de números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, por ejemplo: con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2.   
 
3. “Conjunto de los números racionales.” 
Los números racionales son aquellos que puedenexpresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, ½ ,( y su representación decimal es periódica). Ejemplo:

5/7 = 0,7142857142857142857.... Tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

Estos números son representados por la letra Q y se define de la siguiente manera: 
Q =  / m, n son enteros y n  

Todo entero “m” puede escribirse como el numero racionalm/1, mientras que “n”=0 y se puede concluir que Z=Q (un numero entero es igual a un número racional)… Cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero.  Por ejemplo:

4.”Conjunto de números irracionales”
El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*,está constituido por los números reales que tienen la representación racional es aperiódica. Por ejemplo:  

(base del logaritmo natural), , etc... que no se puede expresar como cociente de enteros. Por ejemplo: representa al numero positivo “a” tal que: a2 =2
, 5. “Conjunto R de los números reales” como: R =Q  Q*. (racionales e irracionales)

En el conjunto R de los números reales,están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (x), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo). 
 
A) Modulativa:  
* Existe el real 0 (cero), llamado modulo o elemento neutro para la adición
a + 0 = 0 + a = a  

* Existe el real 1 (uno), tal 1=0, llamado modulo o elemento neutro para la multiplicación
a. 1 = 1 .a = a   ,-(-x) = x. , -x = (-1)x.  (-1) (-1) = 1.  -(x y) = (-x) y = x (-y). 

B) Invertida: Para cada número real “a”, existe un real único llamado el opuesto de “a” (inverso aditivo), y que se denota –a tal que: 
a + (-a) = 0 ,  Así por ejemplo, el opuesto de 5 es -5;
Esto no significa que -a sea un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Así, -3 es negativo y es el opuesto de3, mientras que -(-5) es positivo y es el opuesto de –5. 
C) Distributiva: Para todo a, b, c,= R, a. (b + c) = a.b + a.c -(x + y) = (-x) + (-y). 
6. “Axiomas en orden” 
Los axiomas del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial de R (representado por R+ que son los reales positivos). Estas propiedades permitenestablecer que el sistema de los números reales es un campo ordenado. 
A) Existe un subconjunto R+ de R tal que: 
Si (a) (b) =R+, entonces a + b =R+ 

Para cada a =R, solo una de las siguientes proposiciones es verdadera:
a =R+; a = 0; -a =R+.
Los elementos a =R, para los cuales a =R+, serán llamados: reales positivos. 
Los elementos a =R, para los cuales -a =R+, serán llamados: reales...