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10. Optimización no lineal sin restricciones

10. Optimización no lineal sin restricciones
Conceptos básicos Optimización sin restricciones en dimensión 1 Métodos numéricos para dimensión 1Optimización sin restricciones en dimensión > 1 Métodos numéricos para dimensión > 1

Conceptos básicos
Problema general de programación no lineal (PNL): maximizar o minimizar z=f(x1,x2,...,xn)(objetivo) S.A.
g1(x1,x2,...,xn) ≤ /= / ≥ b1 g2(x1,x2,...,xn) ≤ /= / ≥ b2 ... (restricciones) gm(x1,x2,...,xn) ≤ /= / ≥ bm Problema de programación no lineal no restringido: PNL sin restricciones Regiónfactible: conjunto de puntos que satisfacen las restricciones. Solución óptima de un PNL tipo minimizar: punto de la región factible x* que satisface f(x) ≥f(x*) para todo x de la región factible.Carmen M. García López

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Extremos locales
Para un PNL, un punto factible x= (x1,x2,...,xn) es un máximo (mínimo) local si para un ε suficientementepequeño, cualquier punto factible x’= (x1’,x2’,...,xn’) verificando |xi-xi’| ) cf(x’)+(1-c)f(x’’) para 0 < c < 1. Teorema 1
Se considera un PNL con región factible S convexa. Entonces si el problema es demaximixación (minimización) y la función f es estrictamente cóncava (convexa) en S, entonces cualquier máximo (mínimo) local del PNL es una solución óptima de este problema.

Carmen M. García López10. Optimización no lineal sin restricciones

Funciones cóncavas y convexas(II)
Teorema 2
Si f’’(x) existe para cualquier x en un conjunto convexo S, entonces f(x) es una función convexa(cóncava) en S si y sólo si f’’(x) ≥ (≤) 0 para todo x de S

Teorema 3
Si f (x1,x2,...,xn) tiene derivadas parciales de segundo orden continuas para cada punto x= (x1,x2,...,xn) de un conjunto convexo S,entonces f(x) es una función estrictamente convexa (cóncava) en S si y sólo si su matriz Hessiana es definida positiva (negativa)

Funciones cóncavas y convexas (III)
 a11   a21 A =  a31 ...