Base de un espacio vectorial

Base de un espacio vectorial
Artículos principales: Base y Dimensión
Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito oinfinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base
a1vi1 +a2vi2 + ... + anvin,
donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal. Un conjunto devectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación
a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin =0
sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a laindependencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.
Base formalmente

v1 y v2 son base de un plano, si hubiesedependencia lineal(alineados) la cuadrícula no podría generarse
Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si son linealmente independientes.
Proposición
Dado un espacio vectorial es unabase .
Proposición
Dado un espacio vectorial linealmente independientes y es linealmente independiente.
Teorema
Todo sistema de generadores tiene una base.
Teorema Steinitz
Toda base de un espaciovectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes.
Corolario
Si un espacio vectorial tiene una base de vectores cualquier otra base posee vectores.
ObservaciónTodo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente del axioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de...