biseccion, gaus-jorda-seidel

Método de Bisección.
En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el sub-intervalo que tiene la raíz.
Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.1 Se basa en el teorema del valorintermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en unintervalo cerrado [a,c] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entref(j) y f(e), por lo que con certeza existe un p en [a,b] quecumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos unasolución de la ecuación f(a)=0.
El método consiste en lo siguiente:
Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
A continuación se verifica que 
Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
En caso de que no losea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
El método de bisección es menos eficiente queel método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a,b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

En la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.

El método de Gauss.
Es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción,utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes (  ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tresincógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas.

Las operaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes:
Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.
Sumarle o restarle a una fila otra fila.
Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
Cambiar el orden de las filas.Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente.
Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras.
Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0).

Gauss-Jordan.
Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuacioneslineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de...