Metodo De Biseccion, Secante, Newton Y Gauss-Seidel. (Metodos Numericos)

METODO DE BISECCION
En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.
Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todovalor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuaciónf(a)=0.
El método consiste en lo siguiente:
* Debe existirseguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
* A continuación se verifica que 
* Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
* En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
* Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según sehaya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
* Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada.

Para resolver la ecuación (-x²-x+3) utilizamos el siguiente programa realizado en matlab con el método de bisección

clc
x0=1; tol=0.001
fprintf( ' x1 x2x\n');
for i=10
x1=20/(x0^2+2*x0+13);
x2=20/(x1^2+2*x1+13);
x=x0-(x1-x0)^2/(x2-2*x1+x0);
error=abs(x-x0);
disp([x1 , x2, x])
if error < tol
break
end
x0=x
end

METODO DE GAUSS-SEIDEL

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a losmatemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes -garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si essimétrica y, a la vez, definida positiva.

Con el siguiente código se puede resolver el siguiente sistema de ecuaciones:



A=[5 -1 0 0; -1 3 -1 0; 0 -1 4 -1; 0 0 -1 6]
b=[1 1 1 1]
x0=zeros(1,4);
k=0;
error=1;
fprintf('k, x(1), x(2), x(3), x(4) norma\n');
while error > 0.0001
k=k+1;
fprintf(' %2d ',k)
for i=1:4
suma=0;
for j=1:4
ifi~=j
suma=suma+A(i,j)*x0(j);
end
end
x(i)=(b(i)-suma)/A(i,i); fprintf('%10.4f\n',x(i))
end
norma=norm(x0-x); fprintf('%10.4f\n',error)
x0=x;
if k > 17
disp('no se alcanzo la convergencia')
break
end
end

A =
5 -1 0 0
-1 3 -1 0
0 -1 4 -1
0 0 -1 6

b =
11 1 1

k, x(1), x(2), x(3), x(4) , error
1
0.2000
0.3333
0.2500
0.1667
0.4913
2
0.2667
0.4833
0.3750
0.2083
0.2105
3
0.2967
0.5472
0.4229
0.2292
0.0878
4
0.3094
0.5732
0.4441
0.2372
0.0367
5
0.3146
0.5845
0.4526
0.2407
0.0155
6
0.3169
0.5891
0.4563
0.2421
0.0065
7
0.3178
0.5911
0.4578
0.2427
0.0027
80.3182
0.5919
0.4584
0.2430
0.0011
9
0.3184
0.5922
0.4587
0.2431
0.0005

10
0.3184
0.5924
0.4588
0.2431
0.0002
11
0.3185
0.5924
0.4589
0.2431
0.0001

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