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Transformaciones Lineales

Definiciones básicas de Transformaciones Lineales

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José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx

MathCon c 2007-2009

Contenido

1. Transformaciones Lineales. 1.1. Núcleo e imagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Representación matricial de una transformación lineal 1.2.1. Ejemplos de transformaciones lineales: . . . 1.3. Reflexión,Dilatación y Magnificación . . . . . . . .

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2 3 4 6 9 15 17

2. Valores y Vectores Propios 2.1. Diagonalización de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Transformaciones Lineales.

1

Definición 1 Sean V, W espacios vectoriales, una transformación lineal L es una función L : V → W , tal que: 1. L(u + v) = L(u) + L(v). 2. L(kv) = kL(u).

Proposición 1 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces L(0) = 0.

1.1. Núcleo e imagen.

3

Demostración: Sea L una transformación lineal entonces, L(0) = L(v − v) = L(v) − L(v) = 0Corolario 1 Sea L : V → W , una transformación, si L(0) = 0, entonces T no es lineal.

1.1. Núcleo e imagen.
Definición 2 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores v ∈ V tales que L(v) = 0, se llama “Kernel” o núcleo de L.

Definición 3 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores w ∈ W tales que existe un v ∈ V y L(v) = w, se llamaimagen de L. Proposición 2 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces el kernel de L es un subespacio vectorial de W.

Proposición 3 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces L es inyectiva (uno a uno) si y sólo si ker(L) = {0}. Demostración: Sea L una transformación lineal entonces, y sean v1 , v2 tales que T (v1 ) = T (v2 ), entonces T (v1 ) − T (v2 ) = 0, o sea T (v1 − v2) = 0, lo que implica que v1 − v2 = 0, es decir v1 = v2 . Así T es inyectiva.

Definición 4 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces el rango de L es la dimensión de la imagen de L.

Definición 5 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces la nulidad de L es la dimensión del núcleo de L.

1.2. Representación matricial de una transformación lineal

4

T: x,y
6

x, y4

2

-6

-4

-2

2

4

6

-2

-4

-6

Figura 1.1: Transformación reflexión sobre el eje x.

Proposición 4 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces nulidad(L) + rango(L) = dim(V ).

Proposición 5 Sea L : V → W , una transformación lineal, entonces 1. Si L es uno a uno, entonces es sobre. 2. Si L es sobre, entonces es uno a uno.

1.2. Representación matricialde una transformación lineal
Definición 6 Sea L : Rn → Rn , una transformación lineal, definido por la matriz A, como L(x) = Ax.

1.2. Representación matricial de una transformación lineal

5

T: x,y
6

y,x

4

2

-6

-4

-2

2

4

6

-2

-4

-6

Figura 1.2: Transformación rotación de 90◦ (−y, x) .

T: x,y
6

x, y

4

2

-6

-4

-2

2

4

6-2

-4

-6

Figura 1.3: Transformación (−x, −y).

1.2. Representación matricial de una transformación lineal

6

T: x,y
6

x,y

4

2

-6

-4

-2

2

4

6

-2

-4

-6

Figura 1.4: Transformación (−x, y).

1.2.1.

Ejemplos de transformaciones lineales:

1. ¿Son lineales las siguientes transformaciones? a) L(x, y) = (x + 1, y, x + y). b) L(x, y, z) = (x+ y, y, x − z). d) L(x, y, z) = (x − y, x2 , 2z). f ) L(x, y) = (x − y, 2x + 2). c) L(x, y) = (x2 + x, y − y 2 ).

e) L(x, y, z) = (2x − 3y, 3y − 2z, 2z).

g) L(x, y, z) = (x + y, 0, 2x − z). h) L(x, y) = (x2 − y 2 , x2 + y 2 ). i) L(x, y) = (x − y, 0, 2x + 3).

2. Encontrar la imagen del punto P , baja la transformación L.

1.2. Representación matricial de una transformación lineal...