Busquda de la seccion dorada

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Búsqueda de la sección dorada
 
Al resolver para la raíz de sólo una ecuación no lineal, la meta fue la de encontrar la variable x que diera cero en la función f(x). La optimización de una sola variable tiene como meta encontrar el valor de x que generará un extremo, ya sea un máximo o un mínimo de f(x).
 
La búsqueda de la sección dorada es una técnica simple de búsqueda de una sola variablede propósito general. Es similar en esencia al enfoque de la bisección para localizar raíces
 
La clave para hacer eficiente este procedimiento es la mejor elección de los puntos intermedios. Esta meta se puede alcanzar al especificar que las siguientes dos condiciones se cumplan.
 

 
Sustituyendo la primer ecuación en la segunda tenemos:
 

 
Si tomamos el reciproco y R = l2/l1, sellega a
 
1 + R = 1/R
R2 + R - 1=0
 
la cual se puede resolver para la raíz positiva 
Algoritmo
 
1.- Dados dos puntos iniciales xl y xu, tales que xu > xl y exista un máximo.
2.- Se escogen dos puntos interiores x1 y x2 de acuerdo con la razón dorada,
 
d = R(xu – xl)
x1 = xl + d
x2 = xu - d
 
3.- La función se evalúa en los puntos interiores es decir x1, x2, xu, y xl
 -         Si f(x1) es mayor que f(x2) entonces hacemos xl = x2;
-         Si no xu = x1;
 
4.- Repetir los pasos 2 y 3 hasta convergencia.
 
Ejemplo
 
Use la búsqueda de la sección dorada para encontrar el máximo de la función  f(x) = 2seno(x) – x2/10 en el intervalo [0,4].
 
i | xL | fL | x2 | f2 | x1 | f1 | xU | fU | d |
0 | 0.0000 | 0.0000 | 1.5279 | 1.7647 | 2.4721 | 0.6300 | 4.0000 | -3.1136 |2.4721 |
1 | 0.0000 | 0.0000 | 0.9443 | 1.5310 | 1.5279 | 1.7647 | 2.4721 | 0.6300 | 1.5279 |
2 | 0.9443 | 1.5310 | 1.5279 | 1.7647 | 1.8885 | 1.5432 | 2.4721 | 0.6300 | 0.9443 |
3 | 0.9443 | 1.5310 | 1.3050 | 1.7595 | 1.5279 | 1.7647 | 1.8885 | 1.5432 | 0.5836 |
4 | 1.3050 | 1.7595 | 1.5279 | 1.7647 | 1.6656 | 1.7136 | 1.8885 | 1.5432 | 0.3607 |
5 | 1.3050 | 1.7595 | 1.4427 | 1.7755 |1.5279 | 1.7647 | 1.6656 | 1.7136 | 0.2229 |
6 | 1.3050 | 1.7595 | 1.3901 | 1.7742 | 1.4427 | 1.7755 | 1.5279 | 1.7647 | 0.1378 |
7 | 1.3901 | 1.7742 | 1.4427 | 1.7755 | 1.4752 | 1.7732 | 1.5279 | 1.7647 | 0.0851 |
8 | 1.3901 | 1.7742 | 1.4226 | 1.7757 | 1.4427 | 1.7755 | 1.4752 | 1.7732 | 0.0526 |
9 | 1.3901 | 1.7742 | 1.4102 | 1.7754 | 1.4226 | 1.7757 | 1.4427 | 1.7755 | 0.0325 |
10 |1.4102 | 1.7754 | 1.4226 | 1.7757 | 1.4303 | 1.7757 | 1.4427 | 1.7755 | 0.0201 |
11 | 1.4226 | 1.7757 | 1.4303 | 1.7757 | 1.4350 | 1.7757 | 1.4427 | 1.7755 | 0.0124 |
12 | 1.4226 | 1.7757 | 1.4274 | 1.7757 | 1.4303 | 1.7757 | 1.4350 | 1.7757 | 0.0077 |
13 | 1.4226 | 1.7757 | 1.4256 | 1.7757 | 1.4274 | 1.7757 | 1.4303 | 1.7757 | 0.0047 |
14 | 1.4256 | 1.7757 | 1.4274 | 1.7757 | 1.4285 | 1.7757| 1.4303 | 1.7757 | 0.0029 |
15 | 1.4256 | 1.7757 | 1.4267 | 1.7757 | 1.4274 | 1.7757 | 1.4285 | 1.7757 | 0.0018 |
16 | 1.4267 | 1.7757 | 1.4274 | 1.7757 | 1.4278 | 1.7757 | 1.4285 | 1.7757 | 0.0011 |
17 | 1.4267 | 1.7757 | 1.4271 | 1.7757 | 1.4274 | 1.7757 | 1.4278 | 1.7757 | 0.0007 |
 
INTERPOLACION CUADRATICA
 
La interpolación cuadrática tiene la ventaja del hecho que un polinomiode segundo orden con frecuencia proporciona una buena aproximación  a la forma de f(x) cercana a un valor máximo o mínimo (Ver figura 4.3.1)
 
 

 
 
Así como existe una sola línea recta para conectar dos puntos, hay únicamente una cuadrática o parábola para conectar tres puntos . De esta forma , si se tiene tres puntos que juntos contienen un máximo o un mínimo , se puede ajustar unaparábola a los puntos. Después se puede diferenciar e igualar el resultado a cero, y resolver para una estimación del valor óptimo de x. Se puede demostrar que después de un manejo algebraico el resultado es:
 
                             4.3.1
 
Donde x0, x1 y x2 son los valores que fijan el extremo, y x3 es el valor de x que corresponde al máximo valor de ajuste cuadrático a los valores...
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