Cópulas

Def.- Una cópula, C , es una función de distribución multivariante cuyas leyes marginales se distribuyen uniformemente entre [0,1]. En el caso bivariante, Cu,v=p[U≤u, V≤v]
es una función definida en [0,1]2 →[0,1] que verifica las siguientes tres propiedades:
i) Cu,ves una función creciente para cada una de sus componentes.
ii) Cu,1=u y C1,v=v
iii) ∀ a1≤ a2 y ∀ b1≤ b2Ca1,b1+Ca2,b2-Ca1,b2-C(a2,b1)≥0

Teorema de Sklar Sea una función de distribución bidimensional cuyas marginales son FX y FY Entonces, existe una cópula C∀ x,y∈[-∞.∞]2 tal que:
Fx,y=C(Fxx,Fyy)

Si las distribuciones marginales son continuas, la cópula es única. Por tanto, a partir de las cópulas, es posible crear distribuciones bivariantes con distribuciones marginales definidas. De esta forma, si Ces una cópula y FX y FY son dos distribuciones marginales, CFxx,Fyyes una distribución bivariante.

De la definición del Teorema de Sklar, se deduce que las funciones de distribución marginales univariantes pueden tener una estructura separada de la estructura de la cópula.

La aplicabilidad de este Teorema al mercado asegurador se fundamenta en la premisa de que la estructura del fenómeno dela naturaleza cuya ocurrencia afecta a varios ramos de seguros a la vez es independiente de la función de distribución seguida por cada ramo individualmente.

Def.- Función de distribución inversa: Si F es una función de distribución, entonces su función inversa generalizada, es toda función F(-1) definida en [0,1] tal que:
i) Si t∈ImFy x∈-∞,∞, entonces F-1t=x y Fx=t. Por tanto, ∀ t∈ImF,FF-1t=t
ii) Si t∉Im(F) entonces F-1t=infxFx≥t=sup⁡{x|F(x)≤t}
iii) Si F es estrictamente creciente tiene una única función inversa generalizada F(-1).

Corolario del Teorema de Sklar.- Se definen F,C,FX y FYcomo en los enunciados anteriores, y FX-1 y FY-1 como las respectivas funciones inversas generalizadas de FX y FY . Entonces, ∀ u,v∈[0,1]2, C(u,v)=Cu,v=F(FX-1x,FY-1(y))

Def.-Densidad de una cópula Sabemos que, si existe, la densidad f de una función de distribución, F , se define como: Fx,y= ∂F(x,y)∂x∂y
La expresión de la densidad de una cópula, simbolizada por c, es:

cu,v= ∂cu,v∂u∂v
A partir de c(u,v), la densidad f de la función de distribución F puede obtenerse como:

f(x,y)=C(FXx,FYy)fX(x)fY(y)

Def.- Distribución condicionada de una cópula Sea C1(u,v) laderivada de C(u,v) respecto de u:
∂cu,v∂u=C1(u,v)

Si la distribución conjunta de X e Y es Fx,y=C(FXx,FYy)entonces la distribución condicionadaY|X=x es:

FYX-xy=C1(FXx,FYy)

Def.- Survival copula o cópula de supervivencia Sea Sx=pX>x. La función de supervivencia conjunta Sx,y=p(X>x, Y>y) no es 1-F(x,y) como podría pensarse, si no:

Sx,y=1-FX(x) -FYy+F(x,y)

Análogamente, parauna cópula sabemos que Cu,v=p[U≤u,V≤v] Por tanto, la función de supervivencia de una cópula será:

Csu,v=pU>u,V>v=1-u-v+Cu,v

Entonces como Fx,y=C(FX(x),FYy) obtenemos que Sx,y= Cs(FX(x),FYy)

Def.-Sean x,y y (x´,y´) dos observaciones de un vector aleatorio continuo (X,Y). Entonces x,y y (x´,y´) son concordantes si x-x´(y-y´)>0 y discordantes en caso contrario.

Def.-Coeficiente de correlación no lineal de Kendall Una de las principales ventajas de las cópulas, es que permiten analizar coeficientes de correlación no lineales. En el presente artículo se ha utilizado como coeficiente de correlación no lineal, el denominado coeficiente de correlación de Kendall, que muestra una relación directa con el parámetro a que aparece en la función de distribuciónmultivariable cópula.

Sea (X,Y)un par de variables aleatorias. La medida de concordancia τ de Kendall se define como la diferencia entre las probabilidades de concordancia y discordancia de dos observaciones distintas, x,y y (x´,y´) de ese par aleatorio:
τX,Y=px-x´y-y´>0-p[x-x´y-y´<0]
con las siguientes propiedades:
i) -1≤τ≤1
ii) Si X e Y son concordantes entonces, τ = 1.
iii) Si...