Cálculo

Integrales triples

Integrales triples

Integrales triples

Regiones regulares
DEF. Se dice que A ⊂ R3 es una región regular en la dirección
del eje Z si
¯
A = (x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ A,φ1 (x, y) ≤ z ≤ φ2 (x, y)
¯
donde A es una región regular en la dirección del eje X o del
eje Y :
¯
A = (x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)
o
¯
A = (x, y) ∈ R2 /c ≤ y ≤ d , ψ1 (y) ≤ x ≤ψ2 (y)
¯
con φ1 , φ2 son continuas y φ1 ≤ φ2 en A.

Integrales triples

Regiones regulares (II)
De forma análoga se puede definir dominio regular en la
dirección del eje Y y del eje X .
DEF.Si A es una región regular en las tres direcciones se dice
que es regular.
Integral iterada
Sea f : A ⊂ R3 → R continua y A regular en la dirección del eje
Z:
b

ϕ2 (x)

φ2 (x,y )

f (x,y, z) dz dy dx
a

ϕ1 (x)

φ1 (x,y )

Integrales triples

Teorema de Fubini
Sea f : A ⊂ R3 → R continua en A.
Si A es una región regular en alguna dirección, la integral triple
sobre A de fse puede calcular como una integral iterada:
 b ϕ (x) φ (x,y )
2
2



f (x, y, z) dz dy dx

 a ϕ1 (x) φ1 (x,y )







d
ψ2 (y )
φ2 (x,y )




f (x, y, z) dzdx dy

 c ψ (y ) φ (x,y )

1
1
f =
 b ϕ2 (x) φ2 (x,z)
A





 a ϕ (x) φ (x,z) f (x, y, z) dy dz dx

1
1





 d ψ2 (z) φ2 (x,z)




f (x, y, z) dy dxdz

c

ψ1 (z)

φ1 (x,z)

Integrales triples

Teorema de Fubini (II)
Sea f : A ⊂ R3 → R continua en A.
Si A es una región regular en alguna dirección, la integral triple
sobre A de f sepuede calcular como una integral iterada:

 b ϕ2 (z) φ2 (y ,z)


f (x, y, z) dx dy dz

 a ϕ (z) φ (y ,z)

1
1
f =

A
d
ψ2 (y )
φ2 (y ,z)




f (x, y, z) dx dz dy

cψ1 (y )

φ1 (y ,z)

Si A es una región regular, la integral triple se puede calcular
usando cualquiera de las 6 integrales iteradas anteriores y, por
unicidad de la integral, obtenemos el...