Cónicas

La hipérbola como sección cónica

La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.

Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.

La elipse comosección cónica

Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos depuntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).

La parábola como sección cónica

Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.





Curvas cuadráticas

Definición :

Unacónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:

La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como

donde



Una cónica queda pues definida por una matriz simétrica

En lo que sigue denotaremos por Aii a la matriz adjunta en A del elemento aii i=0,1,2 .

Ejemplo:En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior

En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son




Las figuras que represetan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelasy estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:





A continuación estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuacióncuadrática dada.



Clasificación de las cónicas

Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).

Si y son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces

1) det A=det A'=det A'',

2) a11 + a22 =a'11+ a'22 = a''11 + a''22,

3) det A00 = det A'00 = det A''00.

Tabla de Clasificación

det A ≠ 0


det A00 ≠ 0

det A00 > 0


signo (det A) = signo (a11+a22) Elipse imaginaria
signo (det A) ≠ signo (a11+a22) Elipse real
det A00 < 0 Hipérbola
det A00 = 0Parábola

det A= 0


det A00 ≠ 0

det A00 > 0 Rectas no paralelas imaginarias
det A00 < 0 Rectas no paralelas reales

det A00 = 0

det A11 + det A22 ≠ 0

det A11 + det A22 > 0 Rectas paralelas imaginarias
det A11 + det A22 < 0 Rectas paralelas realesdet A11 + det A22 = 0 Rectas coincidentes


Elementos notables de las cónicas

Centro:

Polar Dado un punto P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cónica C de matriz A a la recta de ecuación



Si el punto P está en la cónica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la...