Cadenas de markov

CONCEPTO
En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anteriordistingue a las cadenas de Márkov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.
Reciben su nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Markov (1856-1922), que las introdujo en 1907.[1]
Estos modelos muestran una estructura de dependencia simple, pero muy útil en muchas aplicaciones.
En matemáticas, se define como un proceso estocástico discreto que cumplecon la propiedad de Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.
Una cadena de Márkov es una secuencia X1, X2, X3,... de variables aleatorias. El rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Si ladistribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:

Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la propiedad de Márkov.
Clasificacion de cadenas de Markov
Cadenas irreducibles
Una cadena de Markov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí):1. Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro.
2. Todos los estados se comunican entre sí.
3. C(x)=E para algún x∈E.
4. C(x)=E para todo x∈E.
5. El único conjunto cerrado es el total.
La cadena de Ehrenfest o la caminata aleatoria sin barreras absorbentes son ejemplos de cadenas de Markov irreducibles.
Cadenas positivo-recurrentes
Una cadena de Markov sedice positivo-recurrente si todos sus estados son positivo-recurrentes. Si la cadena es además irreducible es posible demostrar que existe un único vector de probabilidad invariante y está dado por:

Cadenas regulares
Una cadena de Markov se dice regular (también primitiva o ergódica) si existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayoresque cero.
Cuando el espacio de estados E es finito, si P denota la matriz de transición de la cadena se tiene que:

donde W es una matriz con todos sus renglones iguales a un mismo vector de probabilidad w, que resulta ser el vector de probabilidad invariante de la cadena. En el caso de cadenas regulares, éste vector invariante es único.
Cadenas absorbentes
Una cadena de Markov con espacio deestados finito se dice absorbente si se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. La cadena tiene al menos un estado absorbente.
2. De cualquier estado no absorbente se accede a algún estado absorbente.
Si denotamos como A al conjunto de todos los estados absorbentes y a su complemento como D, tenemos los siguientes resultados:
* Su matriz de transición siempre se puede llevar auna de la forma

donde la submatriz Q corresponde a los estados del conjunto D, I es la matriz identidad, 0 es la matriz nula y R alguna submatriz.
* , esto es, no importa en donde se encuentre la cadena, eventualmente terminará en un estado absorbente.
Cadenas de Markov en tiempo continuo
Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2,..., Xi,.. con i indexado en el conjunto N denúmeros naturales, se consideran las variables aleatorias Xt con t que varía en un intervalo continuo del conjunto R de números reales, tendremos una cadena en tiempo continuo. Para este tipo de cadenas en tiempo continuo la propiedad de Márkov se expresa de la siguiente manera

Para una cadena de Markov continua con un número finitod de estados puede definirse una matriz estocástica dada...