Calculo 3

Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM
a

14

1

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes

14.1

Definici´n
o

Se llama sistema lineal con coeficientes constantes al siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden:

 x1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn + b1 (t)


 x2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn + b2 (t)
·········

 ·········



xn = an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn + bn (t)
donde t es la variable independiente y xi = xi (t), 1 ≤ i ≤ n, son n funciones de t (variables
dependientes).
Se llama soluci´n del sistema a un conjunto de n funciones
o
xi = ϕi (t) ,

1≤i≤n

derivables con continuidad y que lo verifican. Resolver un sistema es hallar todas sus
soluciones.
Todo sistemalineal admite una expresi´n matricial de la forma
o
x = Ax + b
donde


a11
 a21

A = · · ·

· · ·
an1


x1 (t)
 x2 (t) 


x = x(t) =  · · ·  ; x


 ··· 
xn (t)


a1n
a2n 

· · ·  ∈ Mn×n (R)

···
ann




x1 (t)
b1 (t)
 x2 (t) 
 b2 (t) 




 · · ·  ; b = b(t) =  · · · 
= x (t) = 



 ··· 
 ··· 
xn (t)bn (t)

a12
a22
···
···
a n2

···
···
···
···
···

Si b = b(t) ≡ 0, el sistema lineal se llama homog´neo. En adelante nos referiremos
e
al sistema lineal completo (no homog´neo) por (SLC) y al homog´neo por (SLH).
e
e

14.2

Sistemas y Ecuaciones lineales

1. Toda ecuaci´n lineal de coeficientes constantes
o
a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y + an y = b(t)
donde t esla variable independiente e y la dependiente, se puede transformar en un
sistema lineal de orden n con coeficientes constantes llamando xi = y (i−1) , 1 ≤ i ≤ n,

Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM
a

2

con lo que se llega al sistema

 x1 = x2


 x =x
2
3


 ···
 ···

x
 n−1 = xn



 x = − an x −
n
a0 1

an−1
a0 x2

− ... −

a1a0 x n

+

b(t)
a0

La soluci´n de x1 en el sistema ser´ la soluci´n de y en la ecuaci´n diferencial.
o
a
o
o
2. Todo sistema lineal
x = Ax + b
se puede transformar mediante eliminaci´n (por combinaciones lineales de ecuaciones
o
y derivadas de ellas) en una ecuaci´n lineal de orden n en alguna de las variables xi .
o
Resolviendo esta ecuaci´n y hallando las dem´s variables xj , j= i, se tiene resuelto
o
a
el sistema. Este m´todo de eliminaci´n no se puede sistematizar y puede resultar en
e
o
ocasiones muy complicado.

14.3

El espacio de soluciones

1. El conjunto de soluciones del sistema lineal homog´neo (SLH) es un espacio vectorial
e
de dimensi´n n.
o
ın
2. El conjunto de soluciones del sistema lineal completo (SLC) es un espacio af´ sobre
elespacio vectorial de las soluciones del sistema homog´neo (SLH) asociado.
e

14.4

Dependencia e independencia lineal de funciones

Sean



ϕ11 (t)
 ϕ12 (t) 


ϕ1 (t) =  · · ·  ;


 ··· 
ϕ1n (t)




ϕ21 (t)
 ϕ22 (t) 


ϕ2 (t) =  · · ·  ;


 ··· 
ϕ2n (t)



······ ;


ϕn1 (t)
 ϕn2 (t) 


ϕn (t) =  · · · 


 ··· 
ϕnn (t)n funciones vectoriales derivables con continuidad y soluciones de (SLH).
La familia de funciones {ϕi }n son linealmente dependientes si y s´lo si
o
i=1
ϕ11 ϕ21
ϕ12 ϕ22
D(t) = · · · · · ·
··· ···
ϕ1n ϕ2n

···
···
···
···
···

ϕ n1
ϕ n2
··· ≡ 0
···
ϕnn

y ser´n linealmente independientes si y s´lo si
a
o
D(t) = 0 ,

∀t ∈ R

Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada,FI-UPM
a

14.5

3

Resoluci´n de sistemas
o

1. Para resolver (SLH) hay que encontrar n soluciones particulares {ϕi }n que sean
i=1
linealmente independientes, y entonces
n

x = ϕ(t) =

ci ϕi (t) ;

ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n

i=1

es la soluci´n general de (SLH).
o
2. Para resolver (SLC) hay que hallar una soluci´n particular ψ (t) y todas las soluo
ciones, ϕ(t) = n ci ϕi...