CALCULO 3

NOTAS DE CLASE
CÁLCULO III
Doris Hinestroza
Diego L. Hoyos

1

Índice general
1. Funciones Vectoriales
1.1. El Espacio Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Funciones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Operaciones algebraicas. . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Límites, derivadas e integrales. . . . . . . . .
1.2.2.1. Teoremas básicos . . . . . . . . . . .
1.3.Curvas y Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Longitud de arco y reparametrización de una curva.
1.5. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. El vector aceleración. . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. *Ecuaciones de Frenet para una curva plana.

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2. Campos Escalares en R2 y R3
2.1. Gráfica de z = f (x, y). Curvas y superficies de nivel. . . . . . .
2.1.1. Superficies cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Límites y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. El plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. El concepto de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . .
2.4. La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. El vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
2.5. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Máximos y Mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Criterio para determinar extremos de funciones de dos
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. *Temas de Lectura . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
2.7.1. Campos Escalares y Campos Vectoriales . . . . . . . . .
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46
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55
65
65

2.7.2. Derivada en una dirección de un campo escalar en Rn .
Derivadas direccionales y parciales. . . . . . . . . . . . .
2.7.3. Diferenciabilidad de un campo escalar en Rn . . . . . . .
2.7.4. Regla de la cadena para camposescalares en Rn . . . . .
2.7.5. Derivada en una dirección de un campo vectorial. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.6. Diferenciabilidad de un campo vectorial . . . . . . . . .
2.7.7. Regla de la cadena para campos vectoriales. . . . . . . .
2.7.8. Fórmula de Taylor de orden dos para campos escalares .
2.7.9. Naturaleza de un punto crítico teniendo como criteriolos
valores propios de la matriz Hessiana . . . . . . . . . . .
2.7.10. Criterio para determinar extremos de funciones de dos
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.11. Ley de la conservación de la energía. Campos conservativos
3. Integrales Múltiples
3.1. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Propiedades de la Integral doble . . . . . . .. .
3.1.2. Integración en regiones más generales . . . . . .
3.1.3. Cálculo de integrales dobles: áreas y volúmenes. .
3.1.4. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.1. La fórmula del cambio de variable . . .
3.2. Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Regiones más generales . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Cambio de variable en integralestriples. . . . . .
3.2.2.1. Coordenadas cilíndricas. . . . . . . . . .
3.2.2.2. Coordenadas esféricas. . . . . . . . . . .
3.3. Aplicaciones de las integrales múltiples. . . . . . . . . .
3.3.1. Momentos y centros de masa. . . . . . . . . . . .
3.3.2. Densidad y masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Momento de Inercia. . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. Probabilidad. . . . . . . . . . . ....