Calculo Diferencial. Unidad 6

UNIDAD 6: SUCESIONES Y SERIES
TEMA: 6.1 DEFINICIÓN DE SUCESIÓN
En matemáticas, se llama sucesión o secuencia al conjunto de elementos encadenados o sucesivos.
Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.
En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidadesmatemáticas.
Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.
Es una secuencia lógica de números ya puede ser creciente i decreciente, las hay en progresión aritmética o progresión geométrica, la diferencia básica es que en la aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misa razón, es decir:
0,1,1,2,3,5,8,13, es laserie o sucesión de fibonacci , que se logra sumando los dos números anteriores, 0+1= 1, 1+1=2, 1+2=3, etc.
En la sucesión geométrica el número siguiente de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio.
En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, así podríamos tener una sucesióndentro de otra sucesión.
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Definiciones
Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.
Definición abstracta
Clase de finitos o numerables objetos ordenados.....
Definición conjuntista
Una sucesión en unconjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una  aplicacion de  en X.
Notación
Notaremos por  a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos .
La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

Definición de término general
Llamaremos término general de una sucesión a , donde  indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.Definición de parcial
Llamaremos parcial de  a una sucesión  donde 
Ejemplos
{1, 2, 3, 4,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35,...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32,...} es una sucesión infinita donde vamos doblandocada término
{A, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético
{A, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "Alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

TEMA: 6.2 LIMITE DE UNA SUCESIÓN:
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisismatemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesion que se va aproximando hacia un punto llamado  limite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramosal valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
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Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.-------------------------------------------------
Límite de una sucesión de números reales
Definición formal
Una sucesión  tal que  tiene límite , cuando  tiende a , si para todo valor  por pequeño que sea, hay un valor  a partir del cual si  tenemos que la distancia de  a es menor que , es decir:
.

Notación
 o bien 
o también

o simplemente

Propiedades
* Si una sucesión  tiene límite positivo, existe un...