Calculo diferencial

CALCULO DIFERENCIAL
TRABAJO COLABORATIVO
NUMERO UNO

JUAN DIEGO HURTADO
INGENIERIA INDUSTRIAL
14.570.143

HERNANDO PONCE

DIEGO ALEXANDER LUNA

GRUPO 100410_183

TUTOR
HAROLD PEREZ

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
BOGOTA
OCTUBRE DE 2010

INTRODUCCION

Para el desarrollo de este primer trabajo colaborativo, se realizo la exploración y profundización de los dos capítulosde la unidad uno, los cuales corresponden a análisis de sucesiones y progresiones, conocimiento necesario para la realización este trabajo primer trabajo, el cual presenta 16 puntos a desarrollar.

Es muy importante tener muy claros estos conceptos, ya que serán de mucha importancia para el desarrollo de las otras unidades del curso de Calculo Diferencial.

FASE 1:

1. Solución

a.Un = (n – 1)n-1 n ≥ 2
U2 = (2 – 1)2-1, U2 = 11 U2 = 1
U3 = (3 – 1)3-1, U3 = 22 U3 = 4
U4 = (4 – 1)4-1, U4 = 33 U4 = 27
U5 = (5 – 1)5-1, U5 = 44 U5 = 256
U6 = (6 – 1)6-1, U6 = 55 U6 = 3125
U7 = (7 – 1)7-1, U7 = 66 U7 = 46656

2.
a. U0 = -1, Un = Un – 1 – 3

U0 = U0 – 3, U0 = 2 -3, U0 = - 1

U1 = U0 – 3 U1 = -1 – 3 U1 = - 4

U2 = U1 – 3 U2 = - 4 – 3 U2 = - 7U3 = U2 – 3 U3 = - 7 – 3 U3 = - 10

U4 = U3 – 3 U4 = -10 – 3 U4 = - 13

U5 = U4 – 3 U5 = - 13 – 3 U5 = - 16

Termino general

Un = - 3n – 1

3. Demostrar que:

FASE 2
6. Determinar si es acotada y hallar la cota superior e inferior:

Se puede inferir que a medida que n crece, la sucesión tiende hacia 0. Entonces la sucesión tiene como máxima cota inferior a 1 y comominima cota superior a 0. Por consiguiente la sucesión es acotada.

8. Sucesiones Convergentes. Demostrar que la sucesión.

Como podemos observar los términos de la sucesión crecen conforme n ve aumentando, por lo tanto es correcto afirmar que se cumple la siguiente desigualdad:

Primero multiplicamos por el reciproco de la expresión así:

FASE 3

Como se puede observar los términosde la sucesión aumentan, a medida que n aumenta, por lo tanto la función diverge, además la sucesión tiene la forma de la función que tiende a infinito f(x) = x2, donde x ∈ R+

PROGRESIONES

12. En una progresión a20 = - 33 y a12 = - 28, hallar a1 y d.
Renombramos los términos así:
U12 = - 28
U12 = U1+11
U1+11 = U1 + 11d
* 28 = U1 + 11d (1)

U20 = - 33
U20 = U1+19
U1+19 =U1 + 19d
-33 = U1 + 19d
Despejamos U1
U1 = - 33 - 19d (2)
Ahora reemplazamos (2) en (1), y tenemos:
-28 = (- 33 - 19d) + 11d
-28 + 33 = - 19d + 11d
-5 = 8d

13. Una progresión aritmética Vn tiene como primer término 1, el n-enésimo término es 15, la sumatoria de los n primeros términos es 200. Hallar el número de términos n incluidos en la suma y la diferencia común d.

Ua = U1
a= 1
U1 = 1
Un = 15
S = 200
n =?
d =?

Para determinar el número de términos n utilizamos la siguiente ecuación:

14. Calcular la suma de:

a. Halla la suma de los números pares: 2, 4, 6,…….100.

Aplicamos la ecuación de la suma de los primeros n términos S:

S = ?
Ua = primer termino
Ua = 2
Un = el n-ésimo termino hasta donde se desea hacer la sumatoria.
Un = 100
n = elnumero de términos, como sabemos que los números pares son 50, y los impares son 50 para sumar 100
n = 50

Entonces reemplazamos en la ecuación,

S = 2550

b. Halla la suma de todos los números impares de 2 cifras.

Al igual que el punto anterior, sabemos que el primer número impar de 2 cifras es el numero 11, y también sabemos que antes del 11 hay 5 números impares (1, 3, 5, 7, 9) porlo tanto los restamos 5 a 50, para encontrar n.

{11, 13, 15, 17,…,99}

Ua = 11
Un = 99
n = 50 – 5
n = 45

S = 2475
c. ¿Cuántos números impares consecutivos a partir de 1 es preciso tomar para que su suma sea igual a 1521?

Ua = U1
a = 1
U1 = 1

S = 1521

Un = {1, 3, 5, 7,…} según la definición, los términos van creciendo y hay una diferencia común que es 2; es decir:
d =...