Calculo espesores coordenada

Levantamiento Geológico

Transformada de sistemas de coordenadas

Muchas veces en geología es útil realizar transformadas de sistemas de coordenadas. Es decir, que por ejemplo conocemos las coordenadas x y z de un punto en un determinado sistema y queremos saber las coordenadas x’ y’ z’ en otro sistema de coordenadas. Esto es relativamente fácil de realizar si conocemos las relacionesangulares entre los ejes de ambos sistemas de coordenadas. Llamamos al sistema de coordenadas original XYZ y al sistema nuevo (es decir al que se quiere transformar) X’Y’Z’. Un punto en el espacio va a tener coordenadas en el sistema XYZ:

V = Vx V y Vz

[

] ]

(nótese que se usa notación vectorial ya que el punto puede pensarse como un vector que va desde el origen de coordenadas hasta elpunto) y coordenadas del sistema X’Y’Z’:

V ' = V 'x V ' y V 'z

[

Para realizar la transformada de sistema de coordenadas se necesitan conocer los ángulos entre los ejes de los dos sistemas. El ángulo entre dos ejes es mencionado con subíndices, ubicándose primero el subíndice correspondiente al sistema nuevo y segundo el correspondiente al sistema original. Así, por ejemplo, el ángulo èxy esentre el eje X’ (sistema nuevo) e Y (sistema original).

Z Z’
sistema original sistema nuevo

θzx θyx
X’ X

θyy

Y’ Y

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Para realizar la transformada de sistemas de coordenadas definimos lo que se conoce como matriz transformante que está compuesta por los cosenos de los nueve ángulos que vinculan a ambos sistemas de coordenadas. Los cosenos (direcciones cosenos), en realidadrepresentan las proyecciones sobre el nuevo sistema de coordenadas de vectores unidad paralelos a los ejes del sistema de coordenadas originales. La matriz transformante entonces toma la forma de:

ai , j

 a xx  =  a yx a  zx

a xy a yy a zy

a xz   a yz  a zz  

donde:

axx = cos θ xx axy = cos θ xy axz = cos θ xz a yx = cos θ yx a yy = cos θ yy a yz = cos θ yz azx = cos θ zxazy = cos θ zy azz = cos θ zz

_ _ Las coordenadas del punto V en el nuevo sistema van a ser V’ = [V’x V’y V’z] donde:

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V ' x = a xxVx + a xyVy + a xzVz V ' y = a yxVx + a yyVy + a yzVz V ' z = azxVx + a zyVy + a zzVz
De esta manera conociendo los ángulos entre dos sistemas de coordenadas podemos convertir las coordenadas de un sistema a otro. Como los sistemas de coordenadas sonortogonales, sólo tres de los nueve ángulos que participan de la matriz transformante son independientes. Esto hace que conociendo sólo tres ángulos se puedan calcular todos los valores de la matriz transformante utilizando las siguientes relaciones:

a xx + axy + axz = 1
2 2 2 2

a yx + a yy + a yz = 1
2 2

a zx + a zy + a zz = 1
2 2 2

a yx a zx + a yy a zy + a yz a zz = 0 a zx a xx + a zy axy + a zz a xz = 0 a xxa yx + a xy a yy + a xz a yz = 0
Para sistematizar la nomenclaturas de ejes cartesianos en ambos sistemas se utiliza lo que se conoce como regla de la mano derecha donde poniendo los dedos pulgar, índice y medio de la mano derecha en forma ortogonal, el primero representa al eje de las X (a veces mencionado como X1 ) el segundo al eje de las Y (a veces

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mencionadocomo X2 ) y el tercero al de las Z (a veces mencionado como X3 ). Los sistemas geográficos utilizados comúnmente en geología son los siguientes:

X o X1
norte

Z o X3
arriba
dedo medio

de

do

pu

l

r ga

Y o X2
norte
do de ín
dedo med io
dedo índice

Y o X2
este

d

ice

X o X1
dedo pulgar

este

Z o X3
abajo

Nótese que tanto en el sistema Gauss-Krügercomo en el UTM las coordenadas X corresponden a la latitud y las Y a la longitud por lo que para utilizar la regla de la mano derecha Z debería corresponder a la profundidad. Algunas utilidades: La transformación de sistemas de coordenadas es en geología una herramienta fundamental y sencilla para aplicar de forma numérica. Ya sea haciendo un pequeño programa o simplemente utilizando una planilla...