calculo euclediano

Distancia euclidiana


Distancia en un sistema de coordenadas cartesianas.
En matemáticas, la distancia euclidiana o euclídea es la distancia "ordinaria" (que se mediría con una regla) entre dos puntos de un espacio euclídeo, la cual se deduce a partir del teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, en un espacio bidimensional, la distancia euclidiana entre dos puntos P1 y P2, de coordenadascartesianas (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente, es:

d_E(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Definición[editar]
En general, la distancia euclidiana entre los puntos P=(p_1,p_2,\dots,p_n)\, y Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\,, del espacio euclídeo n-dimensional, se define como:

d_E(P,Q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \cdots + (p_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i-q_i)^2}.

Nótese que estadefinición depende de la existencia de coordenadas cartesianas sobre la variedad diferenciable (\mathbb{R}^n,\cdot), aunque en un espacio euclídeo pueden definirse sistemas de coordenadas más generales, siempre es posible definir un conjunto global de coordenadas cartesianas (a diferencia de una superficie curva donde sólo existen localmente).
Vectores en el Espacio Dimensional

Si n es un enteropositivo, entonces una n-ada ordenadas es una sucesion de n numeros reales (a1, a2....,an) el conjunto de todas las n-adas ordenadas se denomina espacio n dimensional y se denota por R^n.

Dos Vectores U = (U1, U2.....Un) y V = (V1, V2.....Vn) en R^n se denominan iguales si:

U1 = V1, U2 = V2,......Un = Vn

La suma U + V Se define por:

U + V = (U1 + V1, U2 + V2)

Sea K un escalar,entonces el multiplo escalar KU se define por:

KU = (Ku1, Ku2, Kun)

Las operaciones de adicion y multiplicacion escalar en esa definicion se denominan operaciones nominales sobre R^n.

El Vector cero en R^n se denota por 0 y se define como el Vector.

0 = (0,0,0,......,0)

Si U = (U1, U2, U3,.....Un) es cualquier vector en R^n entonces el negativo o inverso aditivo de U se denota por -U y sedefine por:

-U = (-U1, -U2, -U3,......Un)

La diferencia de Vectores en R^n se define por:

U-V = (U1 - V1, U2 - V2,.......Un - Vn)
Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo tipo de geometría no euclídea, sino muchos,aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:

La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides ytiene curvatura negativa.
La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.
Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general, como sucedeen la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.

Índice [ocultar]
1 Historia
2 Geometrías de curvatura constante
2.1 Geometría hiperbólica
2.2 Geometría elíptica
2.3 Geometría euclídea
2.4 Aspectosmatemáticos
3 Geometrías de curvatura no constante
3.1 Geometría riemanniana general
3.2 Geometría del espacio-tiempo y teoría de la relatividad
4 Véase también
5 Referencias
5.1 Bibliografía
Historia[editar]
El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant[cita requerida], formalizada posterior e independientemente por varios autores a...