Calculo integral

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INDICE

Definición de integral definida…………………………………………………………………………………………… 03

Propiedades de la integral definida……………………………………………………………………………………. 04

Funcion primitiva……………………………………………………………………………………………………………….. 05-06

Teorema fundamental del calculo………………………………………………………………………………… 07-08

Integrales impropias…………………………………………………………………………………………………………… 08-09Bibliografía…………………………………………………………………………………………………………………………….. 10

Definición de integral definida:
Sea f una función continua definida para a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho D x ’[pic]. Sean x0 = a y xn = b y además x0, x1,...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimosubintervalo [xi-1, xi] con i = 1,.., n.
Entonces la integral definida de f de a a b es el número [pic]=[pic].
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. Ladefinición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
Observación: La suma [pic]que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluíaademás subintervalos de distinta longitud.
Definición de las sumas de Riemann: Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo a = x0 £ x1 £ x2 £ x3 £ ......... £ xn-1 £ xn = b donde D xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo. Si ti es cualquier punto del i-ésimo subintervalo la suma[pic], xi-1 £ ti £ xi se llamasuma de Riemann de f asociada a la partición.
Si bien la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (Antes suponíamos que f era no negativa debidoa que estábamos tratando con el área bajo una curva).

Propiedades de la integral definida

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1) donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar paramás de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces = 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces f es mayo que 0 pero
si r>0 entonces f= 3

Funcion primitiva

Una funcion primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por sudiferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su funcion original

Ejemplo:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Es la relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidassobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla...