Calculo integral

INTEGRAL DEFINIDA1.1.- MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.= (x1y1+ x2y2+ x3y3+ x4y4……………+ XnYn

SUBTEMA 1.1.2 NOTACIÓN SUMATORIA O SIGMA
Notación sigma.
En la sección anterior hemos estudiado la antiderivación.En esta sección investigaremos un problema referente al cálculo del área de una región en el plano. A primera vista, parece que esos dos conceptos no tengan relación alguna. No obstante, descubriremos que están íntimamente ligados por el importantísimo teorema fundamental del Cálculo.
Empezamos introduciendo una notación concisa para las sumas, que se denomina notación sigma debido aque utiliza la letra griega Σ, la sigma mayúscula.

NOTACIÓN SIGMA.
La suma de n términos se escribe


donde i es el índice de suma, ai es el i-ésimo término de la suma, y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n.

Nota: Los límites inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del índice de suma. Sin embargo,el límite inferior no tiene por que ser 1. Cualquier entero menor o igual que el límite superior es lícito.

Las siguientes propiedades se deducen usando las leyes asociativa y conmutativa de la suma y la distributiva de la suma respecto de la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante.)

1.
2.

El próximo teorema, cuya demostración se omite, resume variasfórmulas útiles de suma de potencias.

TEOREMA 2. FORMULAS DE SUMA.
1. 2.
3. 3.

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacerlo de esta forma:

EJEMPLO:

También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y sepuede usar una fórmula como esta:

EJEMPLO:

Calcule la siguiente Serie:

Ejemplo # 1

Solución:

Ejemplo # 2

Solución:

Ejemplo # 3

Solución:

Ejemplo # 4
Exprese cada suma en notacion sigma:

(a)

Solución:

TAREAS:
Calcule cada suma y exprésela sin usar notación sigma:
1
.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.
1.1.3 SUMA DE RIEMANNh

b
Área
FIGURA 4.5
Rectángulo: A = bh


h

b
En la geometría euclídea, la región más simple es el rectángulo. Aunque suele decirse que la fórmula para el área del rectángulo es A = bh (Fígura 4.5). es más apropiado decir que eso es la definición del área del rectángulo.
FIGURA 4.6
Triángulo: A = 1 bh2
De esa definición se pueden deducir fórmulas para las áreas de otras regiones planas. Así, para determinar la de un triángulo, formamos un rectángulo de área doble (Figura 4.6). Y una vez que sabemos hallar la del triangulo, el área de los polígonos se calcula dividiéndolos en triángulos (Figura 4.7).

Paralelogramo Hexágono Polígono
FIGURA 4.7Calcular las áreas de regiones no poligonales es mucho más difícil. Los antiguos griegos fueron capaces de encontrar fórmulas para algunas regiones generales, acotadas por cónicas, mediante el método de exhaución. La descripción más precisa de este método se debe a Arquímedes. Esencialmente es un proceso de límites en el que el área se encierra entre polígonos, unos inscritos y otroscircunscritos a la región en cuestión.
Por ejemplo, en la Figura 4.8 el círculo se aproxima por polígonos inscrito y circunscrito de n lados. Para cada valor de n, el área del polígono inscrito es menor que la del círculo y la del circunscrito es mayor que la del círculo. Más aún, al crecer n las áreas de los polígonos se acercan más y más a la de la región circular.

n = 6...