calculo integral

3.1 Límite de una sucesión.

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
En otras palabras: Con el estudio de límites de sucesiones se inaugura el bloque temático dedicado alcálculo (o análisis) infinitesimal. Este nombre se debe a que se va a especular con cantidades infinitesimales (infinitamente pequeñas) en el cálculo diferencial e integral, fundamentalmente, y se reflexionará acerca de sucesiones de números al considerar una cantidad infinita de términos. Los conceptos del análisis infinitesimal son de una extraordinaria sutileza y el fruto de muchos años depensamiento. En el estudio de progresiones se indicó que una sucesión es una colección de números dispuestos uno a continuación de otro y separados por comas. Esto puede considerarse como una definición poco rigurosa, pero una definición más exacta no ayudaría mucho a entender con mayor claridad lo que es una sucesión. En las progresiones, en general, se centró la atención en un número finito detérminos; en lo sucesivo tendrá más interés considerar los infinitos términos de una progresión. Todas las progresiones geométricas cuya razón, en valor absoluto, es menor que uno, tienen algo en común: los términos de la sucesión se van acercando a cero rápidamente (la sucesión tiende a cero). Por supuesto, no todas las sucesiones presentan la particularidad de que sus términos se aproximenpaulatinamente a un número, llamado límite de la sucesión. Las queasí se comporten se llamarán convergentes y, de todas las sucesiones, éstas son las merecedoras de estudio. El concepto de límite ha sido de enorme utilidad en el desarrollo de las matemáticas; en él se fundamenta el cálculo infinitesimal. Aunque muchos matemáticos utilizaron la idea intuitiva de límite, fue el barón de Cauchy (1789-1857), aprincipios del siglo XIX, quien dio una definición satisfactoria de límite y, en consecuencia, de derivada de una función.






3.2 Límite de una función real.

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable xrecibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.
Considérese la  función definida por: y= f(x) = 2x²-x-1/x-1 ; x 1 el único punto en  el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando xse aproxima a 1?
Cuando   x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).
A medida que los valores de x, se “acercan” a 1, sin  tomar el valor de 1, los valores de f(x) se “acercan” a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que:
El “límite” de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas:
F (x) =3  cuando x–>1  (se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).
O también, Lim f (x)=3 ; x–>1  (se lee: límite cuando x tiende a 1 de f(x) es 3). De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra “límite”, se dice que:
Lim f(x) = L; x–>a, si se puede hacer que f(x) este tan “cerca” de L...