Calculo iv

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁTEDRA: CÁLCULO IV

Serie de Potencias

ESQUEMA

1.- Defina:
1) Punto ordinario de una ED.
2) Punto singular de una ED.
3) Punto singular - regular de una ED.
4) Punto singular - irregular de una ED.

2.- Explique el teorema de existencia de soluciones con serie de potencia.

3.-Indique el procedimiento para resolver ED mediante serie de potencia y realice dos ejemplos. Dos ejemplos y uno de ellos que contenga en la ED coeficientes no polinomiales.

4.- Explique el teorema de Frobenius. Ejemplifique.

5.- Defina ecuación indicativa, y enuncie los diferentes casos posibles en esta ecuación. Dos ejemplos para cada caso.

1.- Defina:

1) Punto ordinario de unaEcuación Diferencial:

Se dice punto ordinario de la ecuación diferencial [pic] (1), donde [pic] ; y Q(x) es igual a [pic] donde a0(x) =0; si tanto en dos funciones dadas P(x) como Q(x) son analíticas en “Xo”.

Ejemplo:
1.- [pic]
P(x)= [pic] y Q(x)= [pic]
Ambas funciones son analíticas ( x real. Esto significa que todos los puntos de eje x son ordinarios de la ecuacióndiferencial dada.

2) Punto singular de una ecuación diferencial:

Un punto de una ecuación a2(x)y’’ + a1(x)y’ + a0(x)y = 0, es singular si por lo menos una de las funciones P(x) y Q(x) no son analíticas en X0, entonces X0 es un punto singular. Por consecuencia, si se tiene un punto singular en una ecuación diferencial no se puede resolver mediante series de potencia

Ejemplo:
1.-[pic]
La ecuación se transforma en: [pic]
P(x)=[pic] y Q(x)=[pic]

P(x) no es analítica en X=2

Q(x) no es analítica en X=0 y X=2, de manera que son puntos singulares de la ecuación diferencial. El resto de los puntos del eje “x” son ordinarios.

3) Punto singular- regular de una ecuación diferencial:

Un punto singular X=Xo de la ecuación(1) se denomina punto singular-regular si (X-Xo) P(x) y (X-Xo) 2 Q(x) son ambas analíticas en Xo, en otros términos, (X-Xo) P(x) y (X-Xo) 2 Q(x), tienen una serie de potencia en (X-Xo) con radio de convergencia positivo.

4) Punto singular – irregular de una ecuación diferencial:

Por definición viene a hacer lo contrario de un punto singular- regular, es decir, donde se contemplen todoslos casos diferentes a los regulares dentro de la ecuación (1)

2.- Explique el teorema de existencia de soluciones con serie de potencia.

Para resolver una ecuación diferencial de tipo [pic] , entorno a un punto singular regular se usa el teorema existencial de soluciones con serie de potencias que explica que se pueden encontrar dos soluciones linealmente independientes en la forma deserie de potencias centradas, existe al menos una solución en serie de la forma:
Y= (X-Xo) r [pic]
Donde el numero R es una constante a determinar. La serie convergerá al menos en algún intervalo O < X - Xo < R, que es la distancia desde el punto Xo al punto singular más cercano, en este caso se dice que la solución es alrededor del punto ordinario Xo. Las soluciones en serie delas ecuaciones diferenciales son útiles no solamente para establecer las propiedades generales de una solución, sino que también nos sirven para efectuar cálculos cuando no se tiene una expresión de la solución en términos de funciones elementales conocidas.

3.- Indique el procedimiento para resolver ED mediante serie de potencia y realice dos ejemplos. Dos ejemplos y uno de ellos que contenga enla ED coeficientes no polinomiales.

El método es bastante simple y aunque aquí se describe el caso de una ecuación de segundo orden se puede aplicar a una ecuación lineal de orden n de manera general:

Para encontrar una solución para la ED lineal de segundo orden de (1)

1. Proponemos que la solución es una función analítica en Xo cuya expansión de series de potencias es:
[pic]...
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