Calculo problema maximo minimos

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Se va construir un observatorio astronómico en forma de cilindro circular recto vertical coronado por una cúpula hemisférica.
Si la construcción por metro cuadrado de cúpula es dos meses mayor queen la pared cilíndrica, determinar cuáles serán las proporciones mas económicas para un volumen dado.
1.- si “a” es el precio unitario por unidad de superficie, el costo de la construcción es:
C =costo
∁=A1a+A22a=2πrha+12 4πr2(2a)
Al simplificarla y sacarle factor común
∁=2πa(rh+2r2)
2.-El volumen del observatorio es la suma de los dos volúmenes parciales:
V=v1+v2 = πr2h+12(43πr3)
Sesimplifica el cuatro con el medio y da como resultado
V= πr2h+23πr3
Luego se despega h
h=v-23πr3πr2=3v-2πr33πr2
3.- sustituyendo la ecuación 2 en 1:
∁=2πa(43r2+vπr)
4.- derivando latercera ecuación con respecto a (r) =
dCdr=2a3 (8πr3-3vr2)
5.- si dC/dr es nula , entonces:
8πr3-3v=0
Luego: r2=3v8π23 & r=(3v8π)13
El valor de (h) será:
h=3v8π132=2(r)
parar=(3v8π)13,d2Cdr2>0, luego, se tratara de un mínimo.
La relación (hr) es 2
La altura del cilindro tendrá que ser el diámetro de la cúpula.
Se va construir un observatorio astronómico en forma decilindro circular recto vertical coronado por una cúpula hemisférica.
Si la construcción por metro cuadrado de cúpula es dos meses mayor que en la pared cilíndrica, determinar cuáles serán lasproporciones mas económicas para un volumen dado.
1.- si “a” es el precio unitario por unidad de superficie, el costo de la construcción es:
C = costo
∁=A1a+A22a=2πrha+12 4πr2(2a)
Al simplificarla ysacarle factor común
∁=2πa(rh+2r2)
2.-El volumen del observatorio es la suma de los dos volúmenes parciales:
V=v1+v2 = πr2h+12(43πr3)
Se simplifica el cuatro con el medio y da como resultado
V=πr2h+23πr3
Luego se despega h
h=v-23πr3πr2=3v-2πr33πr2
3.- sustituyendo la ecuación 2 en 1:
∁=2πa(43r2+vπr)
4.- derivando la tercera ecuación con respecto a (r) =
dCdr=2a3 (8πr3-3vr2)...
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