Calculo vectorial

1.- Determine los vectores velocidad, aceleración y rapidez de una partícula cuya función está dada por:
rt=(e-t)i+2cos3tj+(2sin3t)k t=0
v=-e-ti+-6sin3tj+(6cos3t)kv0=-i+6k
at=e-ti+(-18cos3t)j+(-18sin3t)k
a0=i-18j
v(t)=(-e-t)2+(-6sin3t)2+(6cos3t)2
v(0)=e-2t+36(cos2 3t+sin2 3t)=1+36=37
2.- Calcular la integral:01(tet2i+e-tj+k)dt
=0112euidt+01e-tjdt+01kdt u=t2
=et2t10+e-tj10+tk10du=2t
=e2-12i-1e-1j+k(1)du2=t
=e-12i+e-1ej+k

3.- Obtener los vectores tangente y normal si:rt=(6sin2t)i+(6cos2t)j+5tk
r't=12cos2ti+-12sin2tj+5k
r'(t)=(12cos2t)2+(-12sin2t)2+52
=144cos2 2t+sin2 2t+25=144+25=13
Tt=12cos2ti+-12sin2tj+5k13
T't=-24sin2ti+-24cos2tj13=-2413(sin2t+cos2t)
T'(t)=(-24sin2t)2+(-24cos2t)213
=576sin2 2t+cos2 2t13=2413
Nt=-1313(sin2t+cos2t)
4.- Calcular la longitud de arco:rt=tcosti+tsin2tj+223t32k 0≤t≤π
r't=cost-tsinti+sint+tcostj+2t12k
s=0π(cost-tsint)2+(sint+tcost)2+(2t12)2dt
=0πcos2 t+t2sin2 t+sin2 t+t2cos2 t+2tdt
=0πt2(cos2 t+sin2 t)+2t+(cos2t+sin2 t)dt
=0πt2+2t+1dt=0π(t+1)2dt=0π(t+1)dt
=0πtdt+0πdt=t22π0+tπ0
=π22+π

5.- Obtener k para la curva:
rt=(3sint)i+(3cost)j+4tkr't=(3cost)i+(-3sint)j+5k
r'(t)=(3cost)2+(-3sint)2+42
=9cos2 t+sin2 t+16=25=5
Tt=3costi+-3sintj+4k5
T't=-3sinti+-3costj5
T'(t)=(-3sin2)2+(-3cost)213
=9sin2 t+cos2 t5=35
K=355=355